Zeile 52:
Zeile 52:
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
* N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
* N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Zeile 303:
Zeile 303:
====Reine und gemischte Zustände====
====Reine und gemischte Zustände====
{{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math> , alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0
{{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math>, alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0
Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!
Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!
Zeile 366:
Zeile 366:
mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B
mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B
:<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math> ... alles reine Zustände
:<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math>... alles reine Zustände
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
Der Artikel Quantentheoretischer Zugang basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr .
Einteilchenzustände im Kasten
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Kastne mit Länge L und Energiedifferenz
Δ
ϵ
{\displaystyle \Delta \epsilon }
:
V
=
L
3
{\displaystyle V=L^{3}}
(Volumen)
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
H
=
p
2
2
m
+
V
K
a
s
t
e
n
(
r
→
)
{\displaystyle H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)}
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
φ
n
(
r
→
)
=
2
L
sin
(
n
x
π
L
x
)
2
L
sin
(
n
y
π
L
y
)
2
L
sin
(
n
z
π
L
z
)
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)}
mit
n
→
=
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
;
n
i
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle {\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...}
und Energieeigenwerten
ε
n
=
ℏ
π
2
2
m
L
2
(
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)}
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
φ
n
(
r
→
)
=
⟨
r
→
|
n
⟩
→
|
n
⟩
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle }
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
φ
n
(
x
=
0
,
y
,
z
)
=
φ
n
(
x
=
L
,
y
,
z
)
∀
x
i
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}}
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz :
freie Teilchen im Kasten:
e
i
k
→
.
r
→
{\displaystyle {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}}
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
e
i
k
→
.
(
r
→
+
L
→
)
,
L
→
=
(
L
,
L
,
L
)
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
1
w
a
¨
hlen
⇒
k
i
=
(
k
x
,
k
y
,
k
z
)
:
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
φ
k
→
=
1
V
e
i
k
→
.
r
→
,
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
k
→
.
r
→
=
∑
i
k
i
x
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}}
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
∑
Zust
a
¨
nde
.
.
.
≜
∑
k
′
s
.
.
.
{\displaystyle \sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}}
∑
k
→
∈
3-Dim Raum
=
∑
k
Δ
3
k
Δ
3
k
⏟
Δ
k
x
Δ
Δ
k
y
Δ
k
z
=
(
L
2
π
)
3
∑
k
Δ
3
k
→
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Δ
k
{\displaystyle \Delta k}
sind dicht ~
1
L
→
∫
{\displaystyle {\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}}
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
∑
k
≜
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Vielteilchenzustände
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
H
=
∑
i
H
i
;
H
i
=
p
i
2
2
m
+
V
K
a
s
t
e
n
(
r
→
i
)
{\displaystyle H=\sum \limits _{i}{{H}_{i}}\,;\,{{H}_{i}}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({{\vec {r}}_{i}}\right)}
i: Teilchennummer
H
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
⏟
alle Koordinaten
)
=
ε
n
,
N
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
{\displaystyle H{{\Psi }_{n,N}}\left(\underbrace {\left\{{{r}_{i}}\right\}} _{\text{alle Koordinaten}}\right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)}
mit Quantenzahln n
→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
ε
n
,
N
=
∑
i
=
1
N
ε
n
(
i
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n,N}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}}
wobei
ε
n
(
i
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}
die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
=
φ
n
(
1
)
(
r
→
1
)
φ
n
(
2
)
(
r
→
2
)
…
φ
n
(
N
)
(
r
→
N
)
{\displaystyle {{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)={{\varphi }_{n\left(1\right)}}\left({{\vec {r}}_{1}}\right){{\varphi }_{n\left(2\right)}}\left({{\vec {r}}_{2}}\right)\ldots {{\varphi }_{n\left(N\right)}}\left({{\vec {r}}_{N}}\right)}
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
|
Ψ
(
X
1
…
X
i
…
X
j
…
X
N
)
|
2
=
|
Ψ
(
X
1
…
X
j
…
X
i
…
X
N
)
|
2
{\displaystyle {{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}}
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
X
i
=
(
r
→
i
,
s
→
i
)
{\displaystyle {{X}_{i}}=\left({{\vec {r}}_{i}},{{\vec {s}}_{i}}\right)}
Das geht für:
Ψ
(
X
1
…
X
j
…
X
i
…
X
N
)
{\displaystyle \Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)}
Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch (+) und antisymmetrisch (-) bezeichnet:
Fermionen (-)
antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
Bosonen (-)
symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider
T
→
∞
{\displaystyle T\to \infty }
)
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation :
In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)
→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
allgemin Ansätzte für N-Teilchen
Ψ
B
=
1
N
⏟
Teilchenzahl
wg Normierung
!
1
∏
k
K
N
k
!
⏟
wenn nur die Orbitale
φ
k
k
<
N
besetzt weil mehrer
Teilchen in einem Orbital sitzen
so steht
N
k
f
u
¨
r die Zahl der
Teilchen in dem Orbital
∑
P
P
(
φ
n
1
(
x
1
)
…
φ
n
k
(
x
k
)
…
φ
n
N
(
x
N
)
)
⏟
Zumme
u
¨
ber alle Permutationen
{\displaystyle {{\Psi }_{B}}={\frac {1}{\sqrt {\underbrace {N} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teilchenzahl}}\\{\text{wg Normierung}}\end{smallmatrix}}!}}}{\frac {1}{\underbrace {\sqrt {\prod \limits _{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}} _{\begin{smallmatrix}&{\text{wenn nur die Orbitale }}{{\varphi }_{k}}\\&k<N{\text{ besetzt weil mehrer}}\\&{\text{Teilchen in einem Orbital sitzen}}\\&{\text{so steht }}{{\text{N}}_{k}}{\text{ f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r die Zahl der}}\\&{\text{Teilchen in dem Orbital}}\\\end{smallmatrix}}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Zumme }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ ber alle Permutationen}}}}
Ψ
F
=
1
N
!
∑
P
sign
(
P
)
P
(
φ
n
1
(
x
1
)
…
φ
n
k
(
x
k
)
…
φ
n
N
(
x
N
)
)
⏟
Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal
(
−
1
)
{\displaystyle {{\Psi }_{F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{\operatorname {sign} \left(P\right)P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }}\left(-1\right)}}
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Datei:Fermi-Bose
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
=
⟨
r
→
i
|
N
,
n
⟩
→
|
N
,
n
⟩
{\displaystyle {{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)=\left\langle {{\vec {r}}_{i}}|N,n\right\rangle \to \left|N,n\right\rangle }
|
N
,
n
⟩
=
?
{\displaystyle \left|N,n\right\rangle =?}
ist gekennzeichnet durch
die Gesamtteilchenzahl N
wo man die Teilchen sitzen hat n
|
N
,
n
⟩
=
|
n
1
n
2
⋯
n
k
⋯
n
N
N
1
N
2
⋯
N
k
⋯
N
N
⟩
=
|
N
1
N
2
⋯
N
k
⋯
N
N
⟩
{\displaystyle \left|N,n\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{n}_{1}}&{{n}_{2}}&\cdots &{{n}_{k}}&\cdots &{{n}_{N}}\\{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle }
n
k
{\displaystyle {{n}_{k}}}
als Quantenzahl mit
N
k
{\displaystyle {{N}_{k}}}
Teilchen
Fermionen
N
k
=
0
,
1
{\displaystyle {{N}_{k}}=0,1}
Bosonen
N
k
=
0
,
1
,
.
.
.
,
N
{\displaystyle {{N}_{k}}=0,1,...,N}
2 Bosonen
|
1
,
1
⟩
o
d
e
r
|
0
,
2
⟩
o
d
e
r
|
2
,
0
⟩
{\displaystyle \left|1,1\right\rangle oder\left|0,2\right\rangle oder\left|2,0\right\rangle }
2 Fermionen
|
1
,
1
⟩
{\displaystyle \left|1,1\right\rangle }
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.
Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:
massive Bosonen
Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
masselose Bosonen
z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)
man kann sich H anschauen:
∂
H
∂
N
≠
0
{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial N}}\neq 0}
→massive Bosonen
∂
H
∂
N
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial N}}=0}
→masselose Bosonen
∂
H
∂
N
:=
μ
{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial N}}:=\mu }
chemisches Potential
muss am Beispiel später klargemacht werden.
massive Bosonen
μ
≠
0
{\displaystyle \mu \neq 0}
masselose Bosonen
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
Wechselwirkung von System und Umgebung
System und Umgebung auf das System wirken externe Felder (
h
α
{\displaystyle h_{\alpha }}
) und die Umgebung oder Bad enstpricht einem großen Puffer
H
=
H
g
e
s
=
H
S
⏟
System
+
H
B
⏟
Bad
+
H
S
B
⏟
Wechsel-
wirkung
+
H
S
α
(
t
)
⏟
externe Felder die
auf das System wirken
{\displaystyle H={{H}_{ges}}=\underbrace {{H}_{S}} _{\text{System}}+\underbrace {{H}_{B}} _{\text{Bad}}+\underbrace {{H}_{SB}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Wechsel-}}\\{\text{wirkung}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {H_{S}^{\alpha }\left(t\right)} _{\begin{smallmatrix}{\text{externe Felder die }}\\{\text{auf das System wirken}}\end{smallmatrix}}}
"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung
im Allgemeinen:
i
ℏ
∂
t
χ
=
H
χ
{\displaystyle {\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi }
(immer richtig)
Annahme
System
H
S
|
n
⟩
=
ε
n
|
n
⟩
{\displaystyle {{H}_{S}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle }
Bad
H
B
|
b
⟩
=
ε
b
|
b
⟩
{\displaystyle {{H}_{B}}\left|b\right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left|b\right\rangle }
Problem gelöst.
System bespielsweise H-Atom
Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren
ABBILDUNG
"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"
χ
{\displaystyle \chi }
hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab
χ
=
∑
n
,
b
c
n
,
b
(
t
)
|
n
⟩
|
b
⟩
{\displaystyle \chi =\sum \limits _{n,b}{{{c}_{n,b}}\left(t\right)}\left|n\right\rangle \left|b\right\rangle }
Spannt den ganzen Raum auf
|
n
⟩
{\displaystyle \left|n\right\rangle }
,
|
b
⟩
{\displaystyle \left|b\right\rangle }
abstrakte Vielteilchenzustände
wollen Systemgröße beobachten
Observable des Systems O_s wirkt nicht auf
|
b
⟩
{\displaystyle \left|b\right\rangle }
, nur auf
|
n
⟩
{\displaystyle \left|n\right\rangle }
's:
⟨
χ
|
O
s
|
χ
⟩
=
∑
n
,
n
′
b
,
b
′
c
∗
n
′
,
b
′
c
n
,
b
⟨
n
′
|
⟨
b
′
|
O
S
|
b
⟩
⏟
δ
b
,
b
′
|
n
⟩
=
∑
n
,
n
′
∑
b
c
∗
n
′
,
b
c
n
,
b
⏟
ρ
n
,
n
′
−
Matrix
hier findet sich Umgebung
wieder
⟨
n
′
|
O
S
|
n
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle \chi |{{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}n,n'\\b,b'\end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle n'\right|\left\langle b'\right|{{O}_{S}}\underbrace {\left|b\right\rangle } _{{\delta }_{b,b'}}\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{n,n'}{\underbrace {\sum \limits _{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}} _{\begin{smallmatrix}{{\rho }_{n,n'}}-{\text{Matrix}}\\{\text{hier findet sich Umgebung }}\\{\text{wieder}}\end{smallmatrix}}}\left\langle n'\right|{{O}_{S}}\left|n\right\rangle \end{aligned}}}
ρ
n
,
n
′
{\displaystyle {{\rho }_{n,n'}}}
wird Dichtematrix genannt oder Matrix des statistischen Operators
ρ
{\displaystyle \rho }
mit den Matrixelementen
ρ
n
,
n
′
{\displaystyle {{\rho }_{n,n'}}}
→ führe statistischen Operator ein
Erwartungwert in System mit Umgebung:
⟨
χ
|
O
S
|
χ
⟩
=
∑
n
,
n
′
⟨
n
|
ρ
|
n
′
⟩
⟨
n
′
|
O
S
|
n
⟩
{\displaystyle \left\langle \chi \right|{{O}_{S}}\left|\chi \right\rangle =\sum \limits _{n,n'}{\left\langle n\right|\rho \left|n'\right\rangle }\left\langle n'\right|{{O}_{S}}\left|n\right\rangle }
mit
1
=
∑
n
′
|
n
′
⟩
⟨
n
′
|
{\displaystyle 1=\sum \limits _{n'}{\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|}}
⟨
O
S
⟩
=
∑
n
⟨
n
|
ρ
O
S
|
n
⟩
≡
Tr
(
ρ
O
S
)
{\displaystyle \left\langle {{O}_{S}}\right\rangle =\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\rho {{O}_{S}}\left|n\right\rangle }\equiv {\text{Tr}}\left(\rho {{O}_{S}}\right)}
ist die Mittelungsformel der statistischen Physik .
statistischer Operator
Frage: Was kann man über
ρ
{\displaystyle \rho }
herausfinden?
kann 2 Eigenschaften
ρ
n
,
n
′
=
∑
b
c
∗
n
′
,
b
c
n
,
b
{\displaystyle {{\rho }_{n,n'}}=\sum \limits _{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}}
hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
Tr
(
ρ
O
S
)
=
1
{\displaystyle {\text{Tr}}\left(\rho {{O}_{S}}\right)=1}
denn
∑
b
n
|
c
n
,
b
|
2
=
1
{\displaystyle {{\sum \limits _{bn}{\left|{{c}_{n,b}}\right|}}^{2}}=1}
ebenso Diagonalelemente
0
≤
|
c
n
,
b
|
2
≤
1
{\displaystyle 0\leq {{\left|{{c}_{n,b}}\right|}^{2}}\leq 1}
(wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)
wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften
Tr
(
ρ
)
=
∑
i
w
i
=
1
w
i
∈
[
0
,
1
]
,
i
ℏ
∂
t
|
Ψ
i
⟩
=
(
H
S
+
H
S
α
)
|
Ψ
i
⟩
{\displaystyle {\text{Tr}}\left(\rho \right)=\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad {\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\left({{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha }\right)\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }
es existiert die Diagonaldarstellung
ρ
=
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
⏟
Systemwellenfunktionen
{\displaystyle \rho ={{w}_{i}}\underbrace {\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|} _{\text{Systemwellenfunktionen}}}
Bemerkungen
Interpreatation
Interpreation von \rho
in Diagonaldarstellung
⟨
O
S
⟩
=
Tr
(
ρ
O
s
)
=
∑
n
⟨
n
|
ρ
O
s
|
n
⟩
⏟
n
vollst
. System im
Vielteilchenraum des
Systems
=
∑
n
⟨
n
|
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
⏟
ρ
O
s
|
n
⟩
=
∑
i
w
i
⟨
Ψ
i
|
∑
n
|
n
⟩
⟨
n
|
⏟
1
O
s
|
Ψ
i
⟩
=
∑
i
w
i
⟨
Ψ
i
|
O
s
|
Ψ
i
⟩
⏟
Erwartungswert einer
Gr
o
¨
sse
, bei der sich das System
im Zustand
|
Ψ
i
⟩
befindet
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{O}_{S}}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\underbrace {\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\rho {{O}_{s}}\left|n\right\rangle }} _{\begin{smallmatrix}n{\text{ vollst}}{\text{. System im}}\\{\text{Vielteilchenraum des }}\\{\text{Systems}}\end{smallmatrix}}\\&=\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\underbrace {\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}} _{\rho }{{O}_{s}}\left|n\right\rangle }=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|\underbrace {\sum \limits _{n}{\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}} _{1}}{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\underbrace {\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle } _{\begin{smallmatrix}{\text{Erwartungswert einer}}\\{\text{Gr }}\!\!{\ddot {\mathrm {o} }}\!\!{\text{ sse}}{\text{, bei der sich das System }}\\{\text{im Zustand }}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle {\text{ befindet}}\end{smallmatrix}}}\end{aligned}}}
w
i
{\displaystyle {{w}_{i}}}
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
|
Ψ
i
⟩
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }
realisiert wird interpretiert.
⟨
O
S
⟩
{\displaystyle \left\langle {{O}_{S}}\right\rangle }
klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
∑
i
{\displaystyle \sum \limits _{i}{}}
Mittelung über das besprochene Ensenble
Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit wi zum Meßergebnis bei.
Zeitabhängigkeit
wi = Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
|
Ψ
i
⟩
(
t
)
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle (t)}
vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S
Reine und gemischte Zustände
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen
w
i
≠
0
{\displaystyle w_{i}\neq 0}
z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich
ρ
gemisch
=
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
{\displaystyle {{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}}
Eingenwertgleichung
Lösung der Eigenwergleichung für \rho :
ρ
|
r
⟩
=
r
|
r
⟩
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
|
r
⟩
=
r
|
r
⟩
|
⋅
⟨
r
|
∑
i
w
i
⟨
r
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
|
r
⟩
=
r
{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \quad |\centerdot \left\langle r\right|\\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\end{aligned}}}
daraus folgt
w
i
≤
1
{\displaystyle {{w}_{i}}\leq 1}
,
|
⟨
r
|
Ψ
i
⟩
|
2
≤
1
{\displaystyle {{\left|\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \right|}^{2}}\leq 1}
somit
⇒
0
≤
r
≤
1
{\displaystyle \Rightarrow 0\leq r\leq 1}
∑
r
∑
i
w
i
⟨
r
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
|
r
⟩
=
∑
r
r
∑
i
w
i
=
∑
{
r
}
r
⇒
∑
{
r
}
r
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{r}{\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle }=\sum \limits _{r}{r}\\&\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=\sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}\\&\Rightarrow \sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}=1\end{aligned}}}
Eigenwerte von
ρ
{\displaystyle \rho }
sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
Beispiel für gemischten Zustand
H
s
|
n
⟩
=
ε
n
|
n
⟩
{\displaystyle {{H}_{s}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle }
: einfach machen
Photon: mit Polarisation
↑
,
→
{\displaystyle \uparrow ,\to }
= 2 Zustände
|
n
=
1
,
2
⟩
{\displaystyle \left|n=1,2\right\rangle }
|
Ψ
i
(
t
)
⟩
=
a
(
t
)
|
→
⟩
+
b
(
t
)
|
↑
⟩
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\left(t\right)\right\rangle =a\left(t\right)\left|\to \right\rangle +b\left(t\right)\left|\uparrow \right\rangle }
|
Ψ
i
(
t
)
⟩
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\left(t\right)\right\rangle }
wird druch
Zustände
↑
,
↓
,
a
,
b
:
a
2
+
b
2
=
1
{\displaystyle \uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1}
sind alle Möglich.
reiner Zustand
reiner zustand
ρ
rein
=
|
Ψ
i
0
⟩
⟨
Ψ
i
0
|
{\displaystyle {{\rho }_{\text{rein}}}=\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}}\right|}
für festes a,b
ρ
rein
=
a
|
→
⟩
+
b
|
↑
⟩
+
(
a
|
→
⟩
+
b
|
↑
⟩
)
∗
=
|
a
|
2
|
→
⟩
⟨
→
|
+
a
b
∗
|
→
⟩
⟨
↑
|
+
b
a
∗
|
↑
⟩
⟨
→
|
+
|
b
|
2
|
↑
⟩
⟨
↑
|
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\rho }_{\text{rein}}}=a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle +{{\left(a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle \right)}^{*}}\\&={{\left|a\right|}^{2}}\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+a{{b}^{*}}\left|\to \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+b{{a}^{*}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \to \right|+{{\left|b\right|}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\end{aligned}}}
mit a,b beliebig
|
a
|
2
+
|
b
|
2
=
1
{\displaystyle {{\left|a\right|}^{2}}+{{\left|b\right|}^{2}}=1}
z.B
a
=
b
=
1
2
oder
a
=
1
,
b
=
0
{\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\,{\text{oder}}\ a=1,b=0}
... alles reine Zustände
gemischter Zustand
ρ
=
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
,
|
Ψ
1
⟩
=
|
→
⟩
,
|
Ψ
2
⟩
=
|
↑
⟩
,
w
1
=
w
2
=
1
2
{\displaystyle \rho =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|},\ \quad \left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =\left|\to \right\rangle ,\quad \left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}={\frac {1}{2}}}
dann ist
ρ
=
1
2
(
|
→
⟩
⟨
→
|
+
|
↑
⟩
⟨
↑
|
)
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\right)}
wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten
ρ
{\displaystyle \rho }
unterscheiden?
Läuft über Spur (Übungsaufgabe)
((LÖSUNG
ρ
2
<
1
{\displaystyle \rho ^{2}<1}
:gemischt sonst rein))
immer noch nicht bekannt
w
i
{\displaystyle w_{i}}
's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen
Aufgaben der statistischen Physik
3wichtige
dynamische Gelichungen für
ρ
n
,
n
′
(
t
)
{\displaystyle \rho _{n,n'}(t)}
um den statistischen Operator
ρ
(
t
)
{\displaystyle \rho (t)}
zu bestimmen
⟨
O
s
⟩
=
Tr
(
ρ
(
t
)
O
s
)
{\displaystyle \left\langle {{O}_{s}}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho \left(t\right){{O}_{s}}\right)}
bei externen Feldern
Anfangsbedinugungen
ρ
n
,
n
′
(
t
=
0
)
{\displaystyle \rho _{n,n'}(t=0)}
festlegen vor Einschalten externer Felder
Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in
ρ
n
,
n
′
(
t
=
0
)
{\displaystyle \rho _{n,n'}(t=0)}
einzubauen (z.B. Temperatur)