Quantentheoretischer Zugang

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Quantentheoretischer Zugang basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

Quantentheoretischer Zugang	Grundlagen der statistischen Beschreibung
Inhaltsverzeichnis 1 Einteilchenzustände im Kasten 2 Großer Kasten, dichtliegende Zustände 3 Vielteilchenzustände 4 Wechselwirkung von System und Umgebung	Quantentheoretischer Zugang Dynamik des statistischen Operators Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt Beispiel des Großkanonischen Ensenbles Grenzfälle der Dichtematrixgleichungen Gleichgewicht Thermodynamische Potentiale	Einführung statistische Physik Grundlagen der statistischen Beschreibung Gase ohne Wechselwirkung im Gleichgewicht Verdünnte Gase mit Wechselwirkung Thermodynamik (statistische Physik) Auf statistischem Weg durch die klassischen Gleichungen der Physik

Einteilchenzustände im Kasten

Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:

Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. $H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)$ für unendlich hohe Wände Einteilchenfunktion ${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)$ mit ${\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...$ und Energieeigenwerten ${{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)$ Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert ${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle$ (3-Quantenzahlen)

Großer Kasten, dichtliegende Zustände

in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen ${{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}$ periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

Ansatz:

freie Teilchen im Kasten: ${{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: ${\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}$ man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B $\sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}$

${{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

$\Delta k$ sind dicht ~ ${\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}$ Summe über die k-Quantenzahlen werden also

So übersetzt: ${{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

Vielteilchenzustände

Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?

N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt

-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:

$H=\sum \limits _{i}{{H}_{i}}\,;\,{{H}_{i}}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({{\vec {r}}_{i}}\right)$ i: Teilchennummer

$H{{\Psi }_{n,N}}\left(\underbrace {\left\{{{r}_{i}}\right\}} _{\text{alle Koordinaten}}\right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)$ mit Quantenzahln n

-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch) ${{\varepsilon }_{n,N}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}$ wobei ${{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)$ die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist Vorläuftig : ${{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)={{\varphi }_{n\left(1\right)}}\left({{\vec {r}}_{1}}\right){{\varphi }_{n\left(2\right)}}\left({{\vec {r}}_{2}}\right)\ldots {{\varphi }_{n\left(N\right)}}\left({{\vec {r}}_{N}}\right)$

aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte

 ${{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}$

die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein ${{X}_{i}}=\left({{\vec {r}}_{i}},{{\vec {s}}_{i}}\right)$

Das geht für: $\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)$

Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch(+) und antisymmetrisch(-) bezeichnet:

Fermionen (-): antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
Bosonen (-): symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))

Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.

(klassich: Grenzfall beider $T\to \infty$ )

Beispiel:2 Teilchen

$i=1,2\,\,;\,\,n=a,b$ vorläuftig $\Psi ={{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)$ Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie Daher (Anti)symmetriesierung durch ${{\Psi }^{F/B}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)\mp {{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)\right)$ wobei ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ der Normierungsfaktor ist.

((3 Teilchen als Übung))

Interpretation:

In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip
In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation)

--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

allgemin Ansätzte für N-Teilchen

${{\Psi }_{B}}={\frac {1}{\sqrt {\underbrace {N} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teilchenzahl}}\\{\text{wg Normierung}}\end{smallmatrix}}!}}}{\frac {1}{\underbrace {\sqrt {\prod \limits _{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}} _{\begin{smallmatrix}&{\text{wenn nur die Orbitale }}{{\varphi }_{k}}\\&k<N{\text{ besetzt weil mehrer}}\\&{\text{Teilchen in einem Orbital sitzen}}\\&{\text{so steht }}{{\text{N}}_{k}}{\text{ f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r die Zahl der}}\\&{\text{Teilchen in dem Orbital}}\\\end{smallmatrix}}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Zumme }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ ber alle Permutationen}}}$

${{\Psi }_{F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{\operatorname {sign} \left(P\right)P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }}\left(-1\right)}$

recht komplizierte Schreibweise: besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.

jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen

Datei:Fermi-Bose aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:

${{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)=\left\langle {{\vec {r}}_{i}}|N,n\right\rangle \to \left|N,n\right\rangle$

$\left|N,n\right\rangle =?$ ist gekennzeichnet durch

die Gesamtteilchenzahl N
wo man die Teilchen sitzen hat n

$\left|N,n\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{n}_{1}}&{{n}_{2}}&\cdots &{{n}_{k}}&\cdots &{{n}_{N}}\\{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle$

${{n}_{k}}$ als Quantenzahl mit ${{N}_{k}}$ Teilchen

Fermionen ${{N}_{k}}=0,1$
Bosonen ${{N}_{k}}=0,1,...,N$

2 Bosonen $\left|1,1\right\rangle oder\left|0,2\right\rangle oder\left|2,0\right\rangle$ 2 Fermionen $\left|1,1\right\rangle$

verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.

Es gibt 2 Sorgen von Bosonen: