Zeitliche Translationsinvarianz

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Zeitliche Translationsinvarianz	Symmetrien und Erhaltungsgrößen
	Theorem von Noether Räumliche Translationsinvarianz Räumliche Isotropie Zeitliche Translationsinvarianz Das Zweikörperproblem	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Die Zeit spielt in der klassischen Mechanik im Ggstz zur relativistischen Mechanik gegenüber dem Ort eine Sonderrolle.

Deshalb ist eine direkte Anwendung des Noether- Theorems nicht moeglich.

Zeitliche Translationsinvarianz ist erfüllt, falls:

1. die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten:

${\begin{aligned}&{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}=0\Rightarrow {{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{j}^{}{{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}{{\dot {q}}_{j}}_{}}\\\end{aligned}}$

Dabei ist

${\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}$

Funktion von q1...qf

${\frac {\partial }{\partial t}}L=0$

1. Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt NICHT automatisch die Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten.

Wenn die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten, so ist die Energie nicht enthalten.

${{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

Kinetische Energie:

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}^{}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}=}{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}^{}{{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}}$ Mit ${{T}_{jk}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)}$

ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde.

T ist eine homogene quadratische Funktion der

${{\dot {q}}_{1}}...{{\dot {q}}_{f}}$ Also $T\left(\lambda {{\dot {q}}_{1}},...,\lambda {{\dot {q}}_{f}}\right)={{\lambda }^{2}}T\left({{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}}\right)$ Nach $\lambda$

wird partiell abgelitten, dann wird

$\lambda =1$

gesetzt.

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial T}{\partial \left(\lambda {{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right)\left({\frac {\partial \left(\lambda {{\dot {q}}_{k}}\right)}{\partial \lambda }}\right)}\left|_{\lambda =1}\right.=2\lambda T\left|_{\lambda =1}\right.\Leftrightarrow \sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial T}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=2T\\&\left({\frac {\partial \left(\lambda {{\dot {q}}_{k}}\right)}{\partial \lambda }}\right)={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Obere Äquivalenz ist der sogenannte Eulersche Satz

Da V unabhängig von

${{\dot {q}}_{1}}...{{\dot {q}}_{f}}$

gilt auch:

$\sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial L}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=2T$

Zur totalen Zeitableitung von L:

${\begin{aligned}&{\frac {dL}{dt}}=\sum \limits _{k}^{}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\ddot {q}}_{k}}+{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}\right)}+{\frac {\partial L}{\partial t}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\ und\ {\frac {\partial L}{\partial t}}=0\quad wegen\ 2.(oben)\\\end{aligned}}$

Somit:

${\frac {dL}{dt}}=\sum \limits _{k}^{}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\ddot {q}}_{k}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}\right)}={\frac {d}{dt}}\sum \limits _{k}^{}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}=2{\frac {dT}{dt}}}$ wegen $\sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial L}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=2T$

Somit:

$0={\frac {d}{dt}}(2T-L)={\frac {d}{dt}}(T+V)\Rightarrow T+V=konst$

Zeitranslationsinvarianz bedingt also Energieerhaltung !

Oder: Skleronome Zwangsbedingungen:

${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$

bedingen: E=T+V=constant

Nebenbemerkung

Die Aussage folgt auch aus dem Noether-Theorem, wenn man noch den folgenden Trick anwendet: (Scheck, Aufgabe 2.17)

Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung:

${{q}_{k}}={{q}_{k}}(\tau ),t=t(\tau )$

Als Lagrangefunktion muss man sich definieren:

${\bar {L}}\left({{q}_{k}},t,{\frac {d{{q}_{k}}}{d\tau }},{\frac {d{{t}_{}}}{d\tau }}\right):=L\left({{q}_{k}},{\frac {1}{\left({}^{dt}\!\!\diagup \!\!{}_{d\tau }\;\right)}}{\frac {d{{q}_{k}}}{d\tau }},t,{\frac {dt}{d\tau }}\right)$

soll invariant unter Zeittranslationen sein:

${{h}^{s}}({\bar {q}},t)=({\bar {q}},t+s)$

Dann gilt:

1. Hamiltonsches Prinzip auf

${\bar {L}}$

angewandt:

$0=\delta \int \limits _{\tau 1}^{\tau 2}{}{\bar {L}}d\tau =\delta \int \limits _{t1}^{t2}{}Ldt\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0$

2. Noethersches Theorem für

${\bar {L}}$

Integral der Bewegung I:

${\begin{aligned}&I=\sum \limits _{i=1}^{f+1}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}})\right)}_{s=0}}}={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{f+1}}}}\\&mit\ \left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}})\right)=\left(0,...,0,1\right)\quad f\ Nullen,1\ an\ Stelle\ f+1\ mit\ {{q}_{f+1}}=t\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&I={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{f+1}}}}={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial \left({\frac {dt}{d\tau }}\right)}}=L+\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(-{\frac {1}{{\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)}^{2}}}\right){\frac {d{{q}_{k}}}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}}\\&=L-\sum \limits _{k=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=T-V-2T=-(T-V)\\\end{aligned}}$

Also Erhaltung der Energie durch zeitliche Translationsinvarianz