Dirac- Gleichung für Elektronen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dirac- Gleichung für Elektronen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand $Ψ (\bar{r}, 0)$

eindeutig festgelegt sein.

Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = H Ψ

Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in $\frac{\partial}{\partial x}$

sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.

Dies motiviert das Konzept

\hat{H} = c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β = \frac{ℏ}{i} c \bar{α} \nabla + m_{0} c^{2} β

Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = (\frac{ℏ}{i} c \bar{α} \cdot \nabla + m_{0} c^{2} β) Ψ

mit

\bar{α} \cdot \nabla = α^{1} \partial_{1} + α^{2} \partial_{2} + α^{3} \partial_{3} = α^{μ} \partial_{μ}

i ℏ \partial_{0} Ψ = (\frac{ℏ}{i} c α^{μ} \partial_{μ} + m_{0} c^{2} β) Ψ

Aufgrund der Isotropie des Raumes können $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch $β$

eine Matrix

Wegen der Lorentz- Kovarianz können $\bar{α}$

und $β$

nicht auf die Bahnvariable $\bar{r}$

einwirken.

Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen!

Es gilt:

Ψ \in H = H_{B} \otimes H_{S}

Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum!

Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.

Dies ist der sogenannte SPINOR!!

Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ ... \\ Ψ_{n} \end{matrix})

α^{1}, α^{2}, α^{3}

und somit auch $β$

sind also nxn Matrizen!

Dabei vertauschen die $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

mit dem Impuls:

[\bar{α}, \bar{p}] = 0

Fazit:

Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: $Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ ... \\ Ψ_{n} \end{matrix})$

Hermitizität

\hat{H}, \hat{\bar{p}}

sind hermitesch

{\hat{H}}^{+} = c {\bar{p}}^{+} {\bar{α}}^{+} + m_{0} c^{2} β^{+} = c \bar{p} {\bar{α}}^{+} + m_{0} c^{2} β^{+} = c {\bar{α}}^{+} \bar{p} + m_{0} c^{2} β^{+} = H

Somit sind auch $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

und somit auch $β$

hermitesch:

\begin{matrix} {\bar{α}}^{+} = \bar{α} \\ β^{+} = β \end{matrix}

Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators $\sqrt{{m_{0}}^{2} c^{4} - ℏ^{2} c^{2} Δ}$ .

Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von  $\bar{α}, β$

durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:

\begin{matrix} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = (c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β) Ψ \\ - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = (c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β) (c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β) Ψ \\ \Rightarrow - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = (c^{2} (\bar{α} \bar{p}) (\bar{α} \bar{p}) + m_{0} c^{3} (\bar{α} \bar{p} β + β \bar{α} \bar{p}) + {m_{0}}^{2} c^{4} β^{2}) Ψ \\ \Rightarrow - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = (c^{2} \sum_{μ, ν = 1}^{3} (α^{μ} α^{ν} p^{μ} p^{ν}) + m_{0} c^{3} \sum_{μ = 1}^{3} (α^{μ} β + β α^{μ}) p^{μ} + {m_{0}}^{2} c^{4} β^{2}) Ψ \end{matrix}

Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:

\begin{matrix} - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = [c^{2} p^{2} + {m_{0}}^{2} c^{4}] Ψ \\ \Rightarrow (c^{2} \sum_{μ, ν = 1}^{3} (α^{μ} α^{ν} p^{μ} p^{ν}) + m_{0} c^{3} \sum_{μ = 1}^{3} (α^{μ} β + β α^{μ}) p^{μ} + {m_{0}}^{2} c^{4} β^{2}) Ψ = [c^{2} p^{2} + {m_{0}}^{2} c^{4}] Ψ \end{matrix}

Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:

\begin{matrix} \sum_{μ, ν = 1}^{3} (α^{μ} α^{ν} p^{μ} p^{ν}) = p^{2} \\ \Rightarrow {(α^{μ})}^{2} = 1 \\ α^{μ} α^{ν} + α^{ν} α^{μ} = 0 f \ddot{u} r ν \neq μ \\ α^{μ} β + β α^{μ} = 0 \\ β^{2} = 1 \end{matrix}

Dabei gilt insbesondere obige Relation $α^{μ} β + β α^{μ} = 0$

und $α^{μ} α^{ν} + α^{ν} α^{μ} = 0 f \ddot{u} r ν \neq μ$

ohne Summation.

Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.

Sowohl die verschiedenen Komponenten von $α$ ,

also  $α^{μ} u n d α^{ν}$

antikommutieren, wie auch $α^{μ} u n d β$

{α^{μ}, α^{ν}} = 0

{α^{μ}, β} = 0

Matrizendarstellung von $α^{μ} u n d β$

als nxn- Matrix

Eigenschaften

Die Eigenwerte von $α^{μ} u n d β$

sind $\pm 1$

v^{μ} = c α^{μ}

ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons

Beweis: Die Eigenwerte von $α^{μ} u n d β$

sind $\pm 1$

α^{μ} v = λ v

mit $λ \in R$

\begin{matrix} {(α^{μ})}^{2} v = λ^{2} v \\ {(α^{μ})}^{2} = 1 \Rightarrow λ^{2} = 1 \\ \Rightarrow λ = \pm 1 \end{matrix}

Weiter gilt: $t r (α^{μ}) = t r (β) = 0$

Beweis:

t r (α^{μ}) = t r (β^{2} α^{μ}) = t r (β α^{μ} β)

wegen zyklischer Vertauschbarkeit.

Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:

t r (β α^{μ} β) = t r (β (- β α^{μ})) = - t r (β^{2} α^{μ}) = t r (β^{2} α^{μ}) = - t r (α^{μ}) = t r (α^{μ}) = 0

Weitere Einschränkungen:

\begin{matrix} t r (α^{μ}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 0 \\ λ_{i} = \pm 1 \end{matrix}

Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.

Diskussion: n=2:

Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt!

\begin{matrix} σ^{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ σ^{2} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) \\ σ^{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \\ t r σ^{μ} = 0 \end{matrix}

Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im $R^{2} \otimes R^{2}$

n=4

Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:

\begin{matrix} α^{μ} = (\begin{matrix} 0 & σ^{μ} \\ σ^{μ} & 0 \end{matrix}) \in M (4 x 4) \\ β = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \in M (4 x 4) \end{matrix}

Also schreibt sich der Zustand

\begin{matrix} Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ Ψ_{2} \\ Ψ_{3} \\ Ψ_{4} \end{matrix}) = \sum_{s = 1}^{4} Ψ_{S} (\bar{r}, t) {\bar{e}}_{s} \\ {\bar{e}}_{s} := (\begin{matrix} 0 \\ ... \\ 1 \\ ... \end{matrix}) \leftarrow 1 a n s - t e r S t e l l e \end{matrix}

Bemerkung:

In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor!

Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.

Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen!

Kontinuitätsgleichung

\begin{matrix} i ℏ \dot{Ψ} = - i ℏ c α^{μ} \partial_{μ} Ψ + m_{0} c^{2} β Ψ \\ - i ℏ {\dot{Ψ}}^{+} = i ℏ c {(α^{μ} \partial_{μ} Ψ)}^{+} + m_{0} c^{2} {(β Ψ)}^{+} \\ {(β Ψ)}^{+} = Ψ^{+} β \\ {(α^{μ} \partial_{μ} Ψ)}^{+} = (\partial_{μ} Ψ^{+}) α^{μ} \end{matrix}

Durch Linksmultiplikation mit $Ψ^{+}$

bzw. Rechtsmultiplikation mit $Ψ$

gewinnt man :

\begin{matrix} i ℏ Ψ^{+} \dot{Ψ} = - i ℏ c Ψ^{+} α^{μ} \partial_{μ} Ψ + m_{0} c^{2} Ψ^{+} β Ψ \\ - i ℏ {\dot{Ψ}}^{+} Ψ = i ℏ c {(α^{μ} \partial_{μ} Ψ)}^{+} Ψ + m_{0} c^{2} {(β Ψ)}^{+} Ψ \end{matrix}

Und durch Subtraktion der Gleichungen:

\begin{matrix} i ℏ (Ψ^{+} \dot{Ψ} + {\dot{Ψ}}^{+} Ψ) = - i ℏ c (Ψ^{+} α^{μ} (\partial_{μ} Ψ) + (\partial_{μ} Ψ^{+}) α^{μ} Ψ) \\ (Ψ^{+} \dot{Ψ} + {\dot{Ψ}}^{+} Ψ) = \frac{\partial}{\partial t} (Ψ^{+} Ψ) \\ (Ψ^{+} α^{μ} (\partial_{μ} Ψ) + (\partial_{μ} Ψ^{+}) α^{μ} Ψ) = \partial_{μ} (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (Ψ^{+} Ψ) + c \partial_{μ} (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) = 0 \\ \Rightarrow (Ψ^{+} Ψ) = ρ \\ \Rightarrow (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) = \frac{j^{μ}}{c} \end{matrix}

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte $ρ = (Ψ^{+} Ψ) = \sum_{s = 1}^{4} {Ψ_{S}}^{*} Ψ_{S} \geq 0$

(glücklicherweise positiv definit)

und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte $j^{μ} = c (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) μ = 1, 2, 3$

In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung

\partial_{k} j^{k} = 0

mit

\begin{matrix} j^{0} = c Ψ^{+} Ψ = c \sum_{s = 1}^{4} {Ψ_{S}}^{*} Ψ_{S} = c ρ \\ j^{μ} = c (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) = c \sum_{s, s \overset{´}{}}^{} Ψ_{S} * {α_{S S \overset{´}{}}}^{μ} Ψ_{S \overset{´}{}} μ = 1, 2, 3 \end{matrix}

Dirac- Gleichung für Elektronen

Fazit:

Hermitizität

Kontinuitätsgleichung

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