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| Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz: | | Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz: |
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| Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten ( auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. | | Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. |
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| ====Beweis ( integrale Form):==== | | ====Beweis (integrale Form):==== |
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| Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen: | | Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen: |
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| :<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> | | :<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> |
| eine symplektische Matrix, das heißt | | eine symplektische Matrix, das heißt |
| :<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math> | | :<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>. |
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| Das bedeutet, das Volumenelement | | Das bedeutet, das Volumenelement |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Der Satz von Liouville basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Lösung der Differenzialgleichung
![{\displaystyle {\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{\bar {H}}_{,x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6faa663ea7ed43a4af0fb644ed1794ac52ec153)
![{\displaystyle {\bar {x}}\left(t,{{t}_{0}},{{\bar {x}}_{0}}\right)=:{{\bar {\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de4936284e758b6cca18bc7b08209c74ffe7588)
Definition: Fluß im Phasenraum
to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.
Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\bar {\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\&{{\bar {x}}_{0}}({{t}_{0}})\to {\bar {x}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f610d3d25ee407dffc9545cbaa3de5cfb724f1a)
Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(q,p\right)\in \Gamma \\&{\dot {q}}=p\\&{\dot {p}}=-{{\omega }_{0}}^{2}q\\&{\dot {\bar {x}}}=A{\bar {x}}\\&A=\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3f1f4e948ee729f1b7deafde7e83f57c375eba)
Die Lösung lautet:
![{\displaystyle {\bar {x}}(t)={{\bar {\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})=\exp \left[\left(t-{{t}_{0}}\right)A\right]{{\bar {x}}_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7c9f25283ca3cc2c87e34029ffbdb9e1bd579e)
Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.
Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {x}}(t)=\sum \limits _{n}{}{\frac {{\left[\left(t-{{t}_{0}}\right)A\right]}^{n}}{n!}}{{\bar {x}}_{0}}=\left[1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{\frac {A}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\right]{{\bar {x}}_{0}}\\&=\left({\begin{matrix}\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&{\frac {1}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\\end{matrix}}\right){{\bar {x}}_{0}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8537770221d598f1e174041b577aebf5019a2f9)
Beweis:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{A}^{2}}=\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)=-{{\omega }_{0}}^{2}1\\&{{A}^{2n}}={{(-1)}^{2n}}{{\omega }_{0}}^{2n}1\\&{{A}^{2n+1}}={{(-1)}^{n}}{{\omega }_{0}}^{2n+1}{\frac {1}{{\omega }_{0}}}A\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7a858b53371d447c805de973039cfd0c71a67e)
Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.
Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:
Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:
Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.
Beweis (integrale Form):
Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:
![{\displaystyle {{V}_{to}}=\int \limits _{{U}_{to}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875da9aa3cea6a3aaae6d838fa6b0ba30edbf92c)
Bei t:
![{\displaystyle {{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {{x}_{0}}}}\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf58e4c8736c3101074162e13707c4248a35785)
Mit der Jacobi- Matrix:
![{\displaystyle {{\left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)}_{ik}}:={\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}={\frac {\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2092abab9087c3f9145a4c152c17a4e45dfc2a64)
Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})={{\bar {x}}_{0}}+{\bar {F}}({{\bar {x}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\\&{\bar {F}}({{\bar {x}}_{0}},t)=J{{\bar {H}}_{,x}}=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial p}}\\-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24263166e64b2678c8f5c2498f707bcc8cfeaf21)
Somit folgt:
![{\displaystyle {\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}={{\delta }_{ik}}+{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7d9fefb16c989af1e1440429313205ae3f6c25)
Mit Hilfe
![{\displaystyle \det \left(1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e072cdb9b90601759e7062a7c93b208d94a5577f)
folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=\left|{\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}\right|=1+(t-{{t}_{0}})\sum \limits _{i=1}^{2f}{}{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\\&\sum \limits _{i=1}^{2f}{}{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}=div{\bar {F}}={\frac {\partial }{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial }{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4089457da9f00ca02d440bac681148e05b67bd22)
Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:
![{\displaystyle \det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=\left|{\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}\right|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16e84690587207aa4e9640deb2f916efd01cf0c)
![{\displaystyle \Rightarrow {{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}}\right)\cong {{V}_{t0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41007be344bf0f9736dc7dac70eefbc3ffd0640)
Nebenbemerkung:
Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:
Für den Fluß
zu
ist ![{\displaystyle D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af594dc942121d9524ad55f11708fef42623a3c)
eine symplektische Matrix, das heißt
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Das bedeutet, das Volumenelement
![{\displaystyle d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0e28723c659335f8e023523d089e3dfef7c2e4)
im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:
![{\displaystyle d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}=Det(D\Phi )d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}=d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57cd209e4cf831d7b1df88fcae1ad9d115cec36a)
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}^{i}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}}\\&P=\left({\begin{matrix}\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&{\frac {1}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\\end{matrix}}\right)\\&\det P={{\cos }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{{\sin }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})=1\\&d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}=(\det P)d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}=d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e45ec2393d2f911ee77b7b8a49dcbbed9fed246)