Symplektische Struktur des Phasenraums

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Symplektische Struktur des Phasenraums	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

${\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}q\\p\\\end{matrix}}\right)$

ist Vektor im Phasenraum

${{H}_{,}}_{x}:=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial q}}\\{\frac {\partial H}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)$

ist Ableitungsvektor

$J:=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)$

ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

${\dot {\bar {x}}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J{\dot {\bar {x}}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$

Leicht läßt sich zeigen:

${\begin{aligned}&{{J}^{2}}=-1\\&{{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J\\\end{aligned}}$

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

${\begin{aligned}&{\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\...\\{{q}_{f}}\\{{p}_{1}}\\...\\{{p}_{f}}\\\end{matrix}}\right)\\&{{\bar {H}}_{x}}:=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{1}}}}\\...\\{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{f}}}}\\{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{1}}}}\\...\\{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{f}}}}\\\end{matrix}}\right)\quad \quad J:=\left({\begin{matrix}0&{{1}_{f}}\\-{{1}_{f}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Die kanonischen Gleichungen lauten

${\dot {\bar {x}}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J{\dot {\bar {x}}}={{H}_{x}}$

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

${\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{H}_{x}}$

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

$H={\frac {1}{2}}\left(a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}}\right)\quad z.\mathbf {B} .a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1$

$\Rightarrow {\dot {\bar {x}}}:=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial q}}\\{\frac {\partial H}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)={\begin{matrix}bq+cp\\-aq-bp\\\end{matrix}}$

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

${\begin{aligned}&A=\left({\begin{matrix}b&c\\-a&-b\\\end{matrix}}\right)\\&tr\left(A\right)=0\\\end{aligned}}$

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

${\begin{aligned}&{{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t):\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}=-{\frac {\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{2}}({\bar {q}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}{{Q}_{j}}\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}={\frac {\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{3}}({\bar {p}},{\bar {Q}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{q}_{j}}\\&\Rightarrow {{q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=-{\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}}={\frac {\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{4}}({\bar {p}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}{{Q}_{j}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{q}_{j}}\right)\\&\Rightarrow {{q}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}}={{q}_{j}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}}=-{\frac {\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

Dabei sind:

${\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\...\\{{q}_{f}}\\{{p}_{1}}\\...\\{{p}_{f}}\\\end{matrix}}\right)\quad \quad {\bar {y}}:=\left({\begin{matrix}{{Q}_{1}}\\...\\{{Q}_{f}}\\{{P}_{1}}\\...\\{{P}_{f}}\\\end{matrix}}\right)$

${\begin{aligned}&{{M}_{\alpha \beta }}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}}\\&{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\alpha \beta }}:={\frac {\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f\\\end{aligned}}$

Beweis:

$\sum \limits _{\gamma =1}^{2f}{}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\gamma \beta }}=\sum \limits _{\gamma =1}^{2f}{}{\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}}{\frac {\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}={{\delta }_{\alpha \beta }}$

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

${{M}_{\alpha \beta }}=\sum \limits _{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\mu \nu }}}$

Beweis:

In Matrixform lautet diese Gleichung:

$M=J{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}$

Die linke Seite (M) lautet:

$M=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial q}{\partial Q}}&{\frac {\partial q}{\partial P}}\\{\frac {\partial p}{\partial Q}}&{\frac {\partial p}{\partial P}}\\\end{matrix}}\right)$

Die rechte Seite lautet:

${\begin{aligned}&J{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right){{\left[\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial Q}{\partial q}}&{\frac {\partial Q}{\partial p}}\\{\frac {\partial P}{\partial q}}&{\frac {\partial P}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)\right]}^{T}}=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right){{\left({\begin{matrix}{\frac {\partial P}{\partial q}}&{\frac {\partial P}{\partial p}}\\-{\frac {\partial Q}{\partial q}}&-{\frac {\partial Q}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)}^{T}}\\&=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right){{\left({\begin{matrix}{{\left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)}^{T}}&-{{\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)}^{T}}\\{{\left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)}^{T}}&-{{\left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)}^{T}}\\\end{matrix}}\right)}^{}}=\left({\begin{matrix}{{\left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)}^{T}}&-{{\left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)}^{T}}\\-{{\left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)}^{T}}&{{\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)}^{T}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:

${\begin{aligned}&M=J{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}\\&\Rightarrow JM=-{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}=-{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{J}^{T}}\\&\Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left({{M}^{-1}}M\right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J\\&{{M}^{T}}JM=J\\\end{aligned}}$

Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:

$\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right):={{\bar {x}}^{T}}J{\bar {y}}=\sum \limits _{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}$

es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

1. Schiefsymmetrie:

$\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)=-\left({\bar {y}},{\bar {x}}\right)$,

Beweis: 

$\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)={{\bar {x}}^{T}}J{\bar {y}}={{\left({{\bar {y}}^{T}}{{J}^{T}}{\bar {x}}\right)}^{T}}=-{{\bar {y}}^{T}}{{J}^{}}{\bar {x}}=-\left({\bar {y}},{\bar {x}}\right)$

1. bilinear:

$\left({\bar {x}},{{\lambda }_{1}}{{\bar {y}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{\bar {y}}_{2}}\right)={{\lambda }_{1}}\left({\bar {x}},{{\bar {y}}_{1}}\right)+{{\lambda }_{2}}\left({\bar {x}},{{\bar {y}}_{2}}\right)$

1. nichtentartet:

$\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)=0\forall {\bar {y}}\Rightarrow {\bar {x}}=0$

Nebenbemerkung: Es gilt:

$\left({\bar {x}},{\bar {x}}\right)=0\forall {\bar {x}}$

Also Selbstorthogonalität

Beweis:

${{\bar {x}}^{T}}J{\bar {x}}=\left({\begin{matrix}q&p\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}q\\p\\\end{matrix}}\right)=qp-pq=0$

Die Symplektische Struktur auf dem

${{R}^{2f}}$

ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:

${{\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)}_{Eu}}=\sum \limits _{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar {x}}^{T}}g{\bar {y}}$

Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:

${\begin{aligned}&\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)=\left({\bar {y}},{\bar {x}}\right)\\&\left({\bar {x}},{\bar {x}}\right)\geq 0\\\end{aligned}}$

Definition:

Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

${{M}^{T}}JM=J$

bildet die reelle symplektische Gruppe S über

${{R}^{2f}}$.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Gruppeneigenschaften

1.

${{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S$

Beweis:

${{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left({{M}_{1}}{{M}_{2}}\right)}^{T}}J\left({{M}_{1}}{{M}_{2}}\right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J$

2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)

3. Einselement Einheitsmatrix!

1. Inverse:

${{M}^{-1}}:={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J$

Beweis:

${{M}^{-1}}M=\left({{J}^{-1}}{{M}^{T}}J\right)M={{J}^{-1}}\left({{M}^{T}}JM\right)={{J}^{-1}}J=1$

Dabei gilt :

${{M}^{T}},J\in S$

Beweis: Übungsaufgabe

1. Weiter gilt:

$\det M=1$

Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen

${\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{\bar {H}}_{,x}}$

kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:

${\begin{aligned}&{{\dot {y}}_{i}}=\sum \limits _{k}^{}{{\frac {\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}{{\dot {x}}_{k}}}\Leftrightarrow {\dot {\bar {y}}}={{M}^{-1}}{\dot {\bar {x}}}=\left({{J}^{-1}}{{M}^{T}}J\right)J{{\bar {H}}_{,x}}\\&{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{i}}}}=\sum \limits _{k}^{}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{x}_{k}}}}{\frac {\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}}\Leftrightarrow {{\bar {H}}_{,y}}={{M}^{T}}{{\bar {H}}_{,x}}}\\&\Rightarrow {\dot {\bar {y}}}=\left({{J}^{-1}}{{M}^{T}}J\right)J{{\left({{M}^{T}}\right)}^{-1}}{{\bar {H}}_{,y}}=-J\left(-1\right){{M}^{T}}{{\left({{M}^{T}}\right)}^{-1}}{{\bar {H}}_{,y}}=J{{\bar {H}}_{,y}}\\\end{aligned}}$