Symplektische Struktur des Phasenraums

Aus PhysikWiki

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Der Hamiltonsche kanonische Formalismus

Inhaltsverzeichnis

1 Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade
2 Kanonische Transformationen in kompakter Notation
3 Beweis:
4 Beweis:
5 Definition:
6 Gruppeneigenschaften

Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion
Die Hamiltonschen Gleichungen
Kanonische Transformationen
Symplektische Struktur des Phasenraums
Der Satz von Liouville
Poisson- Klammern

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

$\bar{x}:=\left( \begin{matrix} q \\ p \\ \end{matrix} \right)$

ist Vektor im Phasenraum

${{H}_{,}}_{x}:=\left( \begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p} \\ \end{matrix} \right)$

ist Ableitungsvektor

$J:=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

$\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

Leicht läßt sich zeigen:

$\begin{align} & {{J}^{2}}=-1 \\ & {{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J \\ \end{align}$

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

$\begin{align} & \bar{x}:=\left( \begin{matrix} {{q}_{1}} \\ ... \\ {{q}_{f}} \\ {{p}_{1}} \\ ... \\ {{p}_{f}} \\ \end{matrix} \right) \\ & {{{\bar{H}}}_{x}}:=\left( \begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial {{q}_{1}}} \\ ... \\ \frac{\partial H}{\partial {{q}_{f}}} \\ \frac{\partial H}{\partial {{p}_{1}}} \\ ... \\ \frac{\partial H}{\partial {{p}_{f}}} \\ \end{matrix} \right)\quad \quad J:=\left( \begin{matrix} 0 & {{1}_{f}} \\ -{{1}_{f}} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Die kanonischen Gleichungen lauten

$\dot{\bar{x}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J\dot{\bar{x}}={{H}_{x}}$

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

$\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{H}_{x}}$

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

$H=\frac{1}{2}\left( a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}} \right)\quad z.\mathbf{B}.a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1$

$\Rightarrow \dot{\bar{x}}:=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p} \\ \end{matrix} \right)=\begin{matrix} bq+cp \\ -aq-bp \\ \end{matrix}$

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

$\begin{align} & A=\left( \begin{matrix} b & c \\ -a & -b \\ \end{matrix} \right) \\ & tr\left( A \right)=0 \\ \end{align}$

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

$\begin{align} & {{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t): \\ & \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ & {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\ & \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & {{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}} \\ & \Rightarrow {{p}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ & {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}} \\ & \Rightarrow \frac{\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & {{M}_{3}}(\bar{p},\bar{Q},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \\ & \Rightarrow {{q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ & {{P}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}} \\ & \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & {{M}_{4}}(\bar{p},\bar{P},t)={{M}_{1}}(\bar{q},\bar{Q},t)-\sum\limits_{j=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}{{Q}_{j}}+\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}{{q}_{j}} \right) \\ & \Rightarrow {{q}_{j}}=-\frac{\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ & {{Q}_{j}}=\frac{\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}={{q}_{j}} \\ & \Rightarrow \frac{\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}=-\frac{\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}} \\ \end{align}$

Dabei sind:

$\bar{x}:=\left( \begin{matrix} {{q}_{1}} \\ ... \\ {{q}_{f}} \\ {{p}_{1}} \\ ... \\ {{p}_{f}} \\ \end{matrix} \right)\quad \quad \bar{y}:=\left( \begin{matrix} {{Q}_{1}} \\ ... \\ {{Q}_{f}} \\ {{P}_{1}} \\ ... \\ {{P}_{f}} \\ \end{matrix} \right)$

$\begin{align} & {{M}_{\alpha \beta }}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}} \\ & {{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\alpha \beta }}:=\frac{\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f \\ \end{align}$

Beweis:

$\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\gamma \beta }}=\sum\limits_{\gamma =1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}\frac{\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}=\frac{\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}={{\delta }_{\alpha \beta }}$

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

${{M}_{\alpha \beta }}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}_{\mu \nu }}}$

Beweis:

In Matrixform lautet diese Gleichung:

$M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}$

Die linke Seite (M) lautet:

$M=\left( \begin{matrix} \frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\ \frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \\ \end{matrix} \right)$

Die rechte Seite lautet:

$\begin{align} & J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\ \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\ \end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix} \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\ -\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p} \\ \end{matrix} \right)}^{T}} \\ & =\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix} {{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\ {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\ \end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix} {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\ -{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:

$\begin{align} & M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\ & \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\ & \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\ & {{M}^{T}}JM=J \\ \end{align}$

Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:

$\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}$

es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

Schiefsymmetrie:

$\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)$ ,

Beweis:

$\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)$

bilinear:

$\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)$

nichtentartet:

$\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0$

Nebenbemerkung: Es gilt:

$\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}$

Also Selbstorthogonalität

Beweis:

${{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix} q & p \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} q \\ p \\ \end{matrix} \right)=qp-pq=0$

Die Symplektische Struktur auf dem

R 2 f

ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:

${{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}$

Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:

$\begin{align} & \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\ & \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\ \end{align}$

Definition:

Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

M T J M = J

bildet die reelle symplektische Gruppe S über

R 2 f

.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Gruppeneigenschaften

1.

${{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S$

Beweis:

${{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)}^{T}}J\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J$

2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)

3. Einselement Einheitsmatrix!

Inverse:

M - 1 : = J - 1 M T J

Beweis:

${{M}^{-1}}M=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)M={{J}^{-1}}\left( {{M}^{T}}JM \right)={{J}^{-1}}J=1$

Dabei gilt :

${{M}^{T}},J\in S$

Beweis: Übungsaufgabe

Weiter gilt:

det M = 1

Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen

$\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}$

kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:

$\begin{align} & {{{\dot{y}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}{{{\dot{x}}}_{k}}}\Leftrightarrow \dot{\bar{y}}={{M}^{-1}}\dot{\bar{x}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\ & \frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{i}}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{x}_{k}}}\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}\Leftrightarrow {{{\bar{H}}}_{,y}}={{M}^{T}}{{{\bar{H}}}_{,x}}} \\ & \Rightarrow \dot{\bar{y}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=-J\left( -1 \right){{M}^{T}}{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=J{{{\bar{H}}}_{,y}} \\ \end{align}$

Fakten zu Symplektische Struktur des PhasenraumsRDF-Feed

Abschnitt	4 +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	4 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Symplektische Struktur des Phasenraums

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Beweis:

Beweis:

Definition:

Gruppeneigenschaften

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Navigation

Suche

Werkzeuge