|
|
| Zeile 72: |
Zeile 72: |
|
| |
|
| Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. | | Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. |
|
| |
| ====Impuls- und Drehimpulserhaltung====
| |
|
| |
| Lagrange- Formulierung:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>L=T-V=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}-V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)</math>
| |
|
| |
|
| |
| Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\left( \begin{matrix}
| |
| {{q}_{1}} \\
| |
| {{q}_{2}} \\
| |
| {{q}_{3}} \\
| |
| \end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math> Schwerpunktskoordinate <math>\left( \begin{matrix}
| |
| {{q}_{4}} \\
| |
| {{q}_{5}} \\
| |
| {{q}_{6}} \\
| |
| \end{matrix} \right):=\bar{r}={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}</math>
| |
| Relativkoordinate
| |
|
| |
| Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{r}}}_{1}}=\bar{R}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=\bar{R}-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
| |
| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=\dot{\bar{R}}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=\dot{\bar{R}}-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
| |
| & L=\frac{M}{2}{{{\dot{\bar{R}}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{\bar{r}}}}^{2}}-V(r) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
|
| |
| Dabei bezeichnet
| |
|
| |
|
| |
| :<math>r:=\left| {\bar{r}} \right|</math>
| |
| den Abstand und
| |
|
| |
|
| |
| :<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
| |
| die relative Masse
| |
|
| |
|
| |
| :<math>L=\frac{M}{2}{{\dot{\bar{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\bar{R}</math>
| |
| ist zyklische Koordinate:
| |
| :<math>\frac{\partial L}{\partial {{R}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{R}}}_{k}}}=M{{\dot{R}}_{k}}={{P}_{k}}=const</math>
| |
| mit k= x,y,z
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\Rightarrow \bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
| |
|
| |
|
| |
| Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:
| |
|
| |
| o.B.d.A:
| |
| :<math>\bar{R}=\dot{\bar{R}}=0</math>
| |
|
| |
|
| |
| Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung
| |
|
| |
|
| |
| :<math>L=\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
| |
|
| |
|
| |
| mit:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{r}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
| |
| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
|
| |
| Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=\left( \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{{M}^{2}}}+\frac{{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{{M}^{2}}} \right)\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=m\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=const</math>
| |
| (Rotationsinvarianz)
| |
|
| |
| Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\bar{l}\cdot \bar{r}=\bar{l}\cdot \dot{\bar{r}}=0</math>
| |
|
| |
|
| |
| Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor
| |
| :<math>\bar{r},\dot{\bar{r}}</math>
| |
| liegen in der Ebene senkrecht zu
| |
| :<math>\bar{l}</math>
| |
| (Im Schwerpunktsystem).
| |
|
| |
| Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| & x=r\cos \phi \quad \dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\
| |
| & y=r\sin \phi \quad \dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\
| |
| \end{align}</math>
| |
|
| |
|
| |
| Somit:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>{{\dot{\bar{r}}}^{2}}={{\dot{x}}^{2}}+{{\dot{y}}^{2}}=...={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\phi }}^{2}}</math>
| |
|
| |
|
| |
| Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :
| |
| :<math>\left( r,\phi \right)</math>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| :<math>L=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V(r)</math>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\phi </math>
| |
| ist zyklische Koordinate:
| |
| :<math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=const</math>
| |
|
| |
|
| |
| Hier: l = lz, da lx = ly =0
| |
|
| |
| Also:
| |
| :<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
| |
|
| |
|
| |
| =====Flächensatz: 2. keplersches Gesetz=====
| |
|
| |
| Geometrische Interpretation von
| |
| :<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
| |
| :
| |
|
| |
| Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
| |
|
| |
| Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:
| |
|
| |
|
| |
| Für die Fläche gilt:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\delta F=\frac{1}{2}\left| {\bar{r}} \right|\cdot \left| \bar{r}+\delta \bar{r} \right|\sin \delta \phi \approx \frac{1}{2}{{r}^{2}}\delta \phi </math>
| |
|
| |
|
| |
| Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:
| |
|
| |
|
| |
| :<math>\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>
| |
|
| |
|
| |
|
| This info is the cats pjamaas! | | This info is the cats pjamaas! |
|
| |
| GgoWvv <a href="http://pqkterbuuitz.com/">pqkterbuuitz</a>
| |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
|
Der Artikel Das Zweikörperproblem basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
|
Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.
Idee:
f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung
- 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
- Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung
Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:
So wäre das Problem vollständig gelöst:
Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.
Beispiel: Zweikörperproblem
2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).
Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung
Zahl der Freiheitsgrade: f=6
Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren
Erhaltungssätze
- V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.
Somit ist der Impuls:
=konstant
Der Schwerpunkt:
bewegt sich gleichförmig und geradlinig.
Dies folgt aus:
M:=m1 + m2
Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:
- V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:
Damit ist der Drehimpuls
Es sind drei weitere Integrationskonstanten
gefunden.
- Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:
Eine Integrationskonstante E
Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.
This info is the cats pjamaas!
