Räumliche Translationsinvarianz

Aus PhysikWiki

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Räumliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Symmetrien und Erhaltungsgrößen

Inhaltsverzeichnis

1 Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte
2 Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

$L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})}$

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

${{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}{{\to }_{{}}}{{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N$

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

$\begin{align} & L({{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}),{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}+s{{{\bar{e}}}_{x}},...,{{{\bar{r}}}_{N}}+s{{{\bar{e}}}_{x}})}=L({{{\bar{r}}}_{i}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})\ Forderung! \\ & \frac{dL}{ds}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri}}\cdot {{{\bar{e}}}_{x}} \right)}V=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}}V=0\quad Forderung! \\ \end{align}$

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!

Für die Transformation gilt:

${{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N$

${{h}^{s=0}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}$

(Identität)

$\frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{e}}_{x}}$

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

$I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{\dot{r}i}}L\frac{d{{h}^{s}}}{ds}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}}\cdot {{\bar{e}}_{x}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{x}}}_{i}}}={{P}_{x}}$

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

${{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}+\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$ mit ${{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}$

als Schwerpunktskoordinate und

$\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

als Relativpositionen.

Es folgt:

$\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}$

$\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}$ wegen ${{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{{}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}{{\bar{r}}_{i}}{{\dot{q}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}$

Invarianz Erhaltungssatz

${{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz

$\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const$

Allgemein heißt

$\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}={{p}_{j}}$

der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass

${{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0$ ,

wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .

Hier:

$\begin{align} & {{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}(T-V)=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}\left( \sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}} \right)=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}} \\ & mit\quad \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\ & {{p}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}{{{\bar{e}}}_{x}}}={{P}_{x}} \\ \end{align}$

Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}$

Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}=0$

Invarianz sagt

$\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const$

Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)

${{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}V({{\bar{r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}},...,{{\bar{r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}})=\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}\left( {{q}_{1}}{{{\bar{e}}}_{x}} \right)={{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V=-{{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}=0}$

Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)

Das Potenzial hänge nicht von x ab:

${{\frac{\partial L}{\partial x}}_{{}}}=0$

Daraus folgt:

${{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}_{{}}}=m\dot{x}={{P}_{x}}=const$

In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:

$I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}\cdot {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}={{P}_{x}}=const$ wegen $\begin{align} & \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}={{\nabla }_{{\dot{r}}}}L \\ & {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\ \end{align}$

Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

$V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}})=V({{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}})$

 Das Potenzial kann auch anisotrop sein.

Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.

Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:

$\begin{align} & L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}}) \\ & L({{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right),{{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right),{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V(\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right)-\left( {{{\bar{r}}}_{2}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right))=L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}) \\ \end{align}$

für alle i = x,y,z

Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:

$\begin{align} & {{I}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{x}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{x}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{x}}}_{2}}={{P}_{x}}=const \\ & {{I}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{y}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{y}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{y}}}_{2}}={{P}_{y}}=const \\ & {{I}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{z}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{z}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{z}}}_{2}}={{P}_{z}}=const \\ \end{align}$