Das Zweikörperproblem

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das Zweikörperproblem basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Das Zweikörperproblem	Symmetrien und Erhaltungsgrößen
	Theorem von Noether Räumliche Translationsinvarianz Räumliche Isotropie Zeitliche Translationsinvarianz Das Zweikörperproblem	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

• 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
• Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:

${{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...{{\dot {q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f$

So wäre das Problem vollständig gelöst:

${{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f$

Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

Erhaltungssätze

1. V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.

Somit ist der Impuls:

${\bar {P}}={{\bar {p}}_{1}}+{{\bar {p}}_{2}}$

=konstant

Der Schwerpunkt:

${\bar {R}}={\frac {1}{M}}{\bar {P}}t+{{\bar {R}}_{0}}$

bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:

$M{\dot {\bar {R}}}={\bar {P}}=const$

M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:

${\bar {P}},{\bar {R}}$

1. V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:

Damit ist der Drehimpuls

${\bar {l}}={{m}_{1}}{{\bar {r}}_{1}}\times {{\bar {v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar {r}}_{2}}\times {{\bar {v}}_{2}}=const$

Es sind drei weitere Integrationskonstanten

${\bar {l}}$

gefunden.

1. Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:

$E={\frac {1}{2}}{{m}_{1}}{{\bar {v}}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{{m}_{2}}{{\bar {v}}_{2}}^{2}+V\left(\left|{{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}}\right|\right)=const$

Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

Impuls- und Drehimpulserhaltung

Lagrange- Formulierung:

$L=T-V={\frac {1}{2}}{{m}_{1}}{{\bar {v}}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{{m}_{2}}{{\bar {v}}_{2}}^{2}-V\left(\left|{{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}}\right|\right)$

Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:

$\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\{{q}_{2}}\\{{q}_{3}}\\\end{matrix}}\right):={\bar {R}}={\frac {1}{M}}({{m}_{1}}{{\bar {r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar {r}}_{2}})$ Schwerpunktskoordinate $\left({\begin{matrix}{{q}_{4}}\\{{q}_{5}}\\{{q}_{6}}\\\end{matrix}}\right):={\bar {r}}={{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}}$

Relativkoordinate

Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:

${\begin{aligned}&{{\bar {r}}_{1}}={\bar {R}}+{\frac {{m}_{2}}{M}}{{\bar {r}}_{}}\quad \quad {{\bar {r}}_{2}}={\bar {R}}-{\frac {{m}_{1}}{M}}{\bar {r}}\\&{{\dot {\bar {r}}}_{1}}={\dot {\bar {R}}}+{\frac {{m}_{2}}{M}}{{\dot {\bar {r}}}_{}}\quad \quad {{\dot {\bar {r}}}_{2}}={\dot {\bar {R}}}-{\frac {{m}_{1}}{M}}{{\dot {\bar {r}}}_{}}\\&L={\frac {M}{2}}{{\dot {\bar {R}}}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {\bar {r}}}^{2}}-V(r)\\\end{aligned}}$

Dabei bezeichnet

$r:=\left|{\bar {r}}\right|$

den Abstand und

$m={\frac {{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}$

die relative Masse

$L={\frac {M}{2}}{{\dot {\bar {R}}}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {\bar {r}}}^{2}}-V(r)$

${\bar {R}}$

ist zyklische Koordinate:

${\frac {\partial L}{\partial {{R}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {R}}_{k}}}}=M{{\dot {R}}_{k}}={{P}_{k}}=const$

mit k= x,y,z

$\Rightarrow {\bar {R}}={\frac {1}{M}}{\bar {P}}t+{{\bar {R}}_{0}}$

Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:

o.B.d.A:

${\bar {R}}={\dot {\bar {R}}}=0$

Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung

$L={\frac {1}{2}}m{{\dot {\bar {r}}}^{2}}-V(r)$

mit:

${\begin{aligned}&{{\bar {r}}_{1}}=+{\frac {{m}_{2}}{M}}{{\bar {r}}_{}}\quad \quad {{\bar {r}}_{2}}=-{\frac {{m}_{1}}{M}}{\bar {r}}\\&{{\dot {\bar {r}}}_{1}}=+{\frac {{m}_{2}}{M}}{{\dot {\bar {r}}}_{}}\quad \quad {{\dot {\bar {r}}}_{2}}=-{\frac {{m}_{1}}{M}}{{\dot {\bar {r}}}_{}}\\\end{aligned}}$

Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:

${\bar {l}}={{m}_{1}}{{\bar {r}}_{1}}\times {{\bar {v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar {r}}_{2}}\times {{\bar {v}}_{2}}=\left({\frac {{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{M}^{2}}}+{\frac {{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{M}^{2}}}\right){\bar {r}}\times {\dot {\bar {r}}}=m{\bar {r}}\times {\dot {\bar {r}}}=const$

(Rotationsinvarianz)

Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):

${\bar {l}}\cdot {\bar {r}}={\bar {l}}\cdot {\dot {\bar {r}}}=0$

Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor

${\bar {r}},{\dot {\bar {r}}}$

liegen in der Ebene senkrecht zu

${\bar {l}}$

(Im Schwerpunktsystem).

Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:

${\begin{aligned}&x=r\cos \phi \quad {\dot {x}}={\dot {r}}\cos \phi -r{\dot {\phi }}\sin \phi \\&y=r\sin \phi \quad {\dot {y}}={\dot {r}}\sin \phi +r{\dot {\phi }}\cos \phi \\\end{aligned}}$

Somit:

${{\dot {\bar {r}}}^{2}}={{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}}=...={{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}$

Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :

$\left(r,\phi \right)$

$L={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\right)-V(r)$

$\phi$

ist zyklische Koordinate:

${\frac {\partial L}{\partial \phi }}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}=l=const$

Hier: l = lz, da lx = ly =0

Also:

$m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}={{l}_{z}}=m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=const$

Flächensatz: 2. keplersches Gesetz

Geometrische Interpretation von

$m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}={{l}_{z}}=m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=const$

Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:

Für die Fläche gilt:

$\delta F={\frac {1}{2}}\left|{\bar {r}}\right|\cdot \left|{\bar {r}}+\delta {\bar {r}}\right|\sin \delta \phi \approx {\frac {1}{2}}{{r}^{2}}\delta \phi$

Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:

${\frac {d}{dt}}F={\frac {1}{2}}{{r}^{2}}{\frac {d\phi }{dt}}={\frac {l}{2m}}=const$

This info is the cat’s pjamaas!

GgoWvv <a href="http://pqkterbuuitz.com/">pqkterbuuitz</a>