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| ====Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi====
| | Whoa, things just got a whole lot eiaser. |
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| :<math>\begin{align}
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| & {{x}^{i}}(t)=\sum\limits_{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}} \\
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| & P=\left( \begin{matrix}
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| \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \frac{1}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
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| -{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & \det P={{\cos }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{{\sin }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})=1 \\
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| & d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}=(\det P)d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}=d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2} \\
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| \end{align}</math>
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Der Satz von Liouville basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Lösung der Differenzialgleichung
Definition: Fluß im Phasenraum
to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.
Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:
Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:
Die Lösung lautet:
Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.
Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:
Beweis:
Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.
Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:
Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:
Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.
Beweis (integrale Form):
Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:
Bei t:
Mit der Jacobi- Matrix:
Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:
Somit folgt:
Mit Hilfe
folgt:
Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:
Nebenbemerkung:
Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:
Für den Fluß
- zu ist
eine symplektische Matrix, das heißt
- .
Das bedeutet, das Volumenelement
im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:
Whoa, things just got a whole lot eiaser.