Der Satz von Liouville

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der Satz von Liouville basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Der Satz von Liouville	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Lösung der Differenzialgleichung

${\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{\bar {H}}_{,x}}$

${\bar {x}}\left(t,{{t}_{0}},{{\bar {x}}_{0}}\right)=:{{\bar {\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})$

Definition: Fluß im Phasenraum

to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.

Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:

${\begin{aligned}&{{\bar {\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\&{{\bar {x}}_{0}}({{t}_{0}})\to {\bar {x}}(t)\\\end{aligned}}$

Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

${\begin{aligned}&\left(q,p\right)\in \Gamma \\&{\dot {q}}=p\\&{\dot {p}}=-{{\omega }_{0}}^{2}q\\&{\dot {\bar {x}}}=A{\bar {x}}\\&A=\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Die Lösung lautet:

${\bar {x}}(t)={{\bar {\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})=\exp \left[\left(t-{{t}_{0}}\right)A\right]{{\bar {x}}_{0}}$

Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.

Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:

${\begin{aligned}&{\bar {x}}(t)=\sum \limits _{n}{}{\frac {{\left[\left(t-{{t}_{0}}\right)A\right]}^{n}}{n!}}{{\bar {x}}_{0}}=\left[1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{\frac {A}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\right]{{\bar {x}}_{0}}\\&=\left({\begin{matrix}\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&{\frac {1}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\\end{matrix}}\right){{\bar {x}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Beweis:

${\begin{aligned}&{{A}^{2}}=\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)=-{{\omega }_{0}}^{2}1\\&{{A}^{2n}}={{(-1)}^{2n}}{{\omega }_{0}}^{2n}1\\&{{A}^{2n+1}}={{(-1)}^{n}}{{\omega }_{0}}^{2n+1}{\frac {1}{{\omega }_{0}}}A\\\end{aligned}}$

Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.

Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:

Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten ( auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

Beweis ( integrale Form):

Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:

${{V}_{to}}=\int \limits _{{U}_{to}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}$

Bei t:

${{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {{x}_{0}}}}\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)$

Mit der Jacobi- Matrix:

${{\left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)}_{ik}}:={\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}={\frac {\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}$

Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:

${\begin{aligned}&{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})={{\bar {x}}_{0}}+{\bar {F}}({{\bar {x}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\\&{\bar {F}}({{\bar {x}}_{0}},t)=J{{\bar {H}}_{,x}}=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial p}}\\-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

${\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}={{\delta }_{ik}}+{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})$

Mit Hilfe

$\det \left(1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})$

folgt:

${\begin{aligned}&\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=\left|{\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}\right|=1+(t-{{t}_{0}})\sum \limits _{i=1}^{2f}{}{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\\&\sum \limits _{i=1}^{2f}{}{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}=div{\bar {F}}={\frac {\partial }{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial }{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=0\\\end{aligned}}$

Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:

$\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=\left|{\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}\right|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1$

$\Rightarrow {{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}}\right)\cong {{V}_{t0}}$

Nebenbemerkung:

Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:

Für den Fluß

${{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}$ zu ${\dot {\bar {x}}}:=J{{\bar {H}}_{,x}}$ ist $D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}$

eine symplektische Matrix, das heißt

$\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=1$

.

Das bedeutet, das Volumenelement

$d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}$

im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:

$d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}=Det(D\Phi )d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}=d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}$

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi

${\begin{aligned}&{{x}^{i}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}}\\&P=\left({\begin{matrix}\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&{\frac {1}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\\end{matrix}}\right)\\&\det P={{\cos }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{{\sin }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})=1\\&d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}=(\det P)d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}=d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}\\\end{aligned}}$