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| Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln | | Betrachten wir infinitesimale Transformationen (Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln |
| :<math>\delta \phi =\delta s</math> | | :<math>\delta \phi =\delta s</math> |
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| abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht. | | abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht. |
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| ( Drehungen sind orthogonale Transformationen). | | (Drehungen sind orthogonale Transformationen). |
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| Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu | | Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu |
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| , so ergibt sich:
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| Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit | | Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit |
| :<math>\tilde{\phi }=-\phi </math> | | :<math>\tilde{\phi }=-\phi </math>. |
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| Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz | | Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz |
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| :<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> | | :<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> |
| bilden nun eine 3- parametrige | | bilden nun eine 3- parametrige |
| :<math>\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)</math> | | :<math>\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)</math>, |
| , stetige, diffbare
| | stetige, diffbare |
| :<math>\left( in\phi \right)</math> | | :<math>\left( in\phi \right)</math> |
| und orthogonale Gruppe. | | und orthogonale Gruppe. |
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| i,k=x,y,z | | i,k=x,y,z |
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| Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !: | | Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab!: |
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen
Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel
um die z- Achse.
An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:
Dabei gilt:
Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:
Betrachten wir infinitesimale Transformationen (Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben
- Mit
als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.
Somit folgt:
Formal schreibt man:
- mit
Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion
ist rotationsinvariant, da nur von
abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.
(Drehungen sind orthogonale Transformationen).
wegen:
Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:
- Mit
als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:
Interpretation nach dem Noetherschen Theorem
Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung
Andere Betrachtungsweise
Wähle
als verallgemeinerte Koordinate
Trafo:
- mit
Für infinitesimale Drehung um z-Achse.
Invarianz Erhaltungssätze
äquivalent zum Erhaltungssatz
Der Winkel ist also eine zyklische Variable.
Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
- ,
so ergibt sich:
- wegen
Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.
Nebenbedingung:
Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
- .
Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz
Beispiel:
N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:
- mit
Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:
für beliebige Achsen, da
Also ist der resultierende Drehimpuls
eine Erhaltungsgröße
Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse
Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:
Mit der Erzeugenden
Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
gilt:
Es gilt:
mit Definition
Beweis:
Für
Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:
Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse
Erzeugende:
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
Bei der y- Achse gilt:
Erzeugende:
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
Beliebige Drehungen um den Winkel
mit der Drehachse
- mit
Die Drehmatrizen
bilden nun eine 3- parametrige
- ,
stetige, diffbare
und orthogonale Gruppe.
Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen
SO(3)
- Mit
als Orthogonalitätsbedingung, so dass
- und
zum Ausschluß von Raumspiegelungen.
Die Erzeugenden
der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):
i,k=x,y,z
Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab!:
→ zyklische Permutation des Lieschen Produktes