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| -s & 0 & 0 \\ | | -s & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ | | 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math> | | \end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math> Mit <math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math> |
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| Mit | |
| <math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math> | |
| als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse. | | als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse. |
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})</math> | | <math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})</math> mit <math>{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math> |
| | |
| | |
| mit | |
| <math>{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math> | |
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| <math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math> | | <math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math> Mit <math>\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math> |
| | |
| | |
| Mit | |
| <math>\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math> | |
| als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet: | | als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet: |
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| Trafo: | | Trafo: |
| <math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)</math> | | <math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)</math> mit <math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math> |
| | |
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| mit | |
| <math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math> | |
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| <math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}</math> | | <math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}</math> wegen <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}</math> |
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| wegen | |
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}</math> | |
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| <math>V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)</math> | | <math>V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)</math> mit <math>{{r}_{ij}}=\left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right|</math> |
| mit | |
| <math>{{r}_{ij}}=\left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right|</math> | |
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| <math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> | | <math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> mit <math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math> |
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| mit | |
| <math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math> | |
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| <math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math> | | <math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math> Mit <math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math> |
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| Mit | |
| <math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math> | |
| als Orthogonalitätsbedingung, so dass | | als Orthogonalitätsbedingung, so dass |
| <math>|\bar{r}\acute{\ }|=|\bar{r}|</math> | | <math>|\bar{r}\acute{\ }|=|\bar{r}|</math> und <math>\det \bar{\bar{R}}=1</math> |
| und
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| <math>\det \bar{\bar{R}}=1</math> | |
| zum Ausschluß von Raumspiegelungen. | | zum Ausschluß von Raumspiegelungen. |
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen
Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel
um die z- Achse.
An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:
Dabei gilt:
Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:
Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben
Mit
als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.
Somit folgt:
Formal schreibt man:
mit
Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion
ist rotationsinvariant, da nur von
abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.
( Drehungen sind orthogonale Transformationen).
wegen:
Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:
Mit
als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:
Interpretation nach dem Noetherschen Theorem
Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung
Andere Betrachtungsweise
Wähle
als verallgemeinerte Koordinate
Trafo:
mit
Für infinitesimale Drehung um z-Achse.
Invarianz Erhaltungssätze
äquivalent zum Erhaltungssatz
Der Winkel ist also eine zyklische Variable.
Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
, so ergibt sich:
wegen
Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.
Nebenbedingung:
Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
.
Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz
Beispiel:
N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:
mit
Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:
für beliebige Achsen, da
Also ist der resultierende Drehimpuls
eine Erhaltungsgröße
Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse
Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:
Mit der Erzeugenden
Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
gilt:
Es gilt:
mit Definition
Beweis:
Für
Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:
Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse
Erzeugende:
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
Bei der y- Achse gilt:
Erzeugende:
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
Beliebige Drehungen um den Winkel
mit der Drehachse
mit
Die Drehmatrizen
bilden nun eine 3- parametrige
, stetige, diffbare
und orthogonale Gruppe.
Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen
SO(3)
Mit
als Orthogonalitätsbedingung, so dass
und
zum Ausschluß von Raumspiegelungen.
Die Erzeugenden
der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):
i,k=x,y,z
Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:
-> zyklische Permutation des Lieschen Produktes