Räumliche Translationsinvarianz

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Räumliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Räumliche Translationsinvarianz	Symmetrien und Erhaltungsgrößen
	Theorem von Noether Räumliche Translationsinvarianz Räumliche Isotropie Zeitliche Translationsinvarianz Das Zweikörperproblem	Das Hamiltonsche Prinzip Das d'Alembertsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

$L={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}},...,{{\bar {r}}_{N}})}$

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

${{h}^{s}}:{{\bar {r}}_{i}}{{\to }_{}}{{\bar {r}}_{i}}+s{{\bar {e}}_{x}}\quad i=1,..,N$

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

${\begin{aligned}&L({{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}}),{{\dot {\bar {r}}}_{i}})={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}}+s{{\bar {e}}_{x}},...,{{\bar {r}}_{N}}+s{{\bar {e}}_{x}})}=L({{\bar {r}}_{i}},{{\dot {\bar {r}}}_{i}})\ Forderung!\\&{\frac {dL}{ds}}=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\left({{\nabla }_{ri}}\cdot {{\bar {e}}_{x}}\right)}V=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}V=0\quad Forderung!\\\end{aligned}}$

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!

Für die Transformation gilt:

${{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {r}}_{i}}+s{{\bar {e}}_{x}}\quad i=1,..,N$

${{h}^{s=0}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {r}}_{i}}$

(Identität)

${\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {e}}_{x}}$

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

$I=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{{\dot {r}}i}}L{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}}}\cdot {{\bar {e}}_{x}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {x}}_{i}}}={{P}_{x}}$

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

${{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}+\Delta {{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$ mit ${{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}$

als Schwerpunktskoordinate und

$\Delta {{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

als Relativpositionen.

Es folgt:

${\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}$

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}$ wegen ${{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{k}^{}{}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{{\bar {r}}_{i}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}$

Invarianz Erhaltungssatz

${{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz

${\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const$

Allgemein heißt

${\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}={{p}_{j}}$

der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass

${{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0$,

wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .

Hier:

${\begin{aligned}&{{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}(T-V)={\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}\left(\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}\right)=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}}\\&mit\quad {\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}\\&{{p}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{{\bar {e}}_{x}}}={{P}_{x}}\\\end{aligned}}$

Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}-{\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}}\sum \limits _{i}{{\bar {X}}_{i}}$

Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}-{\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}}\sum \limits _{i}{{\bar {X}}_{i}}=0$

Invarianz sagt

${\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}={\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const$

Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)

${{Q}_{1}}=0\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}V({{\bar {r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}},...,{{\bar {r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}})=\sum \limits _{i}{{\nabla }_{ri}}V{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}\left({{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}\right)={{\bar {e}}_{x}}\sum \limits _{i}{{\nabla }_{ri}}V=-{{\bar {e}}_{x}}\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}=0}$

Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)

Das Potenzial hänge nicht von x ab:

${{\frac {\partial L}{\partial x}}_{}}=0$

Daraus folgt:

${{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}_{}}=m{\dot {x}}={{P}_{x}}=const$

In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:

$I({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}})={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\bar {r}}}}}\cdot {{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}_{}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={{P}_{x}}=const$ wegen ${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\bar {r}}}}}={{\nabla }_{\dot {r}}}L\\&{{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}_{}}={{\bar {e}}_{x}}\\\end{aligned}}$

Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

$V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}})=V({{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}})$

 Das Potenzial kann auch anisotrop sein.

Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.

Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:

${\begin{aligned}&L({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},{{\dot {\bar {r}}}_{1}},{{\dot {\bar {r}}}_{2}})={\frac {{m}_{1}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{1}}^{2}+{\frac {{m}_{2}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{2}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}})\\&L({{h}^{s}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right),{{h}^{s}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right),{{\dot {\bar {r}}}_{1}},{{\dot {\bar {r}}}_{2}})={\frac {{m}_{1}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{1}}^{2}+{\frac {{m}_{2}}{2}}{{\dot {\bar {r}}}_{2}}^{2}-V(\left({{\bar {r}}_{1}}-s{{\bar {e}}_{i}}\right)-\left({{\bar {r}}_{2}}-s{{\bar {e}}_{i}}\right))=L({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},{{\dot {\bar {r}}}_{1}},{{\dot {\bar {r}}}_{2}})\\\end{aligned}}$

für alle i = x,y,z

Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:

${\begin{aligned}&{{I}_{x}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{x}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{x}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {x}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {x}}_{2}}={{P}_{x}}=const\\&{{I}_{y}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{y}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{y}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {y}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {y}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {y}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {y}}_{2}}={{P}_{y}}=const\\&{{I}_{z}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{z}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{z}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {z}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {z}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {z}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {z}}_{2}}={{P}_{z}}=const\\\end{aligned}}$

Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:

$M{\dot {\bar {R}}}={{\bar {P}}_{}}=const$

Mit den Schwerpunktskoordinaten

${\bar {R}}:={\frac {1}{M}}\sum \limits _{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{\bar {r}}_{i}}}$

Und der Gesamtmasse

$M:=\sum \limits _{i=1}^{2}{{m}_{i}}$