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| | Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit |
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| | :<math>{{M}^{T}}JM=J</math> |
| | bildet die reelle symplektische Gruppe S über |
| | :<math>{{R}^{2f}}</math>. |
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| | Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur. |
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.
Sei zunächst f= 1
ist Vektor im Phasenraum
ist Ableitungsvektor
ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)
In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:
Leicht läßt sich zeigen:
Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade
Die kanonischen Gleichungen lauten
Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:
Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:
Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:
Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)
Kanonische Transformationen in kompakter Notation
Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:
Dabei sind:
Beweis:
Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:
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Definition:
Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit
bildet die reelle symplektische Gruppe S über
- .
Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.
Furrealz? That's marvelosluy good to know.