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| <math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}^{{}}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}^{{}}{{{T}_{jk}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}}</math> | | <math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}^{{}}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}^{{}}{{{T}_{jk}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}}</math> Mit <math>{{T}_{jk}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}</math> |
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| Mit | |
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| <math>{{T}_{jk}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}</math> | |
| ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde. | | ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde. |
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| T ist eine homogene quadratische Funktion der | | T ist eine homogene quadratische Funktion der |
| <math>{{\dot{q}}_{1}}...{{\dot{q}}_{f}}</math> | | <math>{{\dot{q}}_{1}}...{{\dot{q}}_{f}}</math> Also <math>T\left( \lambda {{{\dot{q}}}_{1}},...,\lambda {{{\dot{q}}}_{f}} \right)={{\lambda }^{2}}T\left( {{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right)</math> Nach <math>\lambda </math> |
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| Also | |
| <math>T\left( \lambda {{{\dot{q}}}_{1}},...,\lambda {{{\dot{q}}}_{f}} \right)={{\lambda }^{2}}T\left( {{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right)</math> | |
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| Nach | |
| <math>\lambda </math> | |
| wird partiell abgelitten, dann wird | | wird partiell abgelitten, dann wird |
| <math>\lambda =1</math> | | <math>\lambda =1</math> |
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| <math>\frac{dL}{dt}=\sum\limits_{k}^{{}}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)}=\frac{d}{dt}\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}=2\frac{dT}{dt}}</math> | | <math>\frac{dL}{dt}=\sum\limits_{k}^{{}}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)}=\frac{d}{dt}\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}=2\frac{dT}{dt}}</math> wegen <math>\sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T</math> |
| wegen | |
| <math>\sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T</math> | |
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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Zeitliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die Zeit spielt in der klassischen Mechanik im Ggstz zur relativistischen Mechanik gegenüber dem Ort eine Sonderrolle.
Deshalb ist eine direkte Anwendung des Noether- Theorems nicht moeglich.
Zeitliche Translationsinvarianz ist erfüllt, falls:
- die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten:
Dabei ist
Funktion von q1...qf
- Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt NICHT automatisch die Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten.
Wenn die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten, so ist die Energie nicht enthalten.
Kinetische Energie:
Mit
ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde.
T ist eine homogene quadratische Funktion der
Also Nach
wird partiell abgelitten, dann wird
gesetzt.
Obere Äquivalenz ist der sogenannte Eulersche Satz
Da V unabhängig von
gilt auch:
Zur totalen Zeitableitung von L:
Somit:
wegen
Somit:
Zeitranslationsinvarianz bedingt also Energieerhaltung !
Oder: Skleronome Zwangsbedingungen:
bedingen: E=T+V=constant
Nebenbemerkung
Die Aussage folgt auch aus dem Noether-Theorem, wenn man noch den folgenden Trick anwendet: (Scheck, Aufgabe 2.17)
Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung:
Als Lagrangefunktion muss man sich definieren:
soll invariant unter Zeittranslationen sein:
Dann gilt:
- Hamiltonsches Prinzip auf
angewandt:
2. Noethersches Theorem für
Integral der Bewegung I:
Also Erhaltung der Energie durch zeitliche Translationsinvarianz