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| Also: | | Also: |
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| Die <math>2(2l+1)</math> | | Die <math>2(2l+1)</math> Produktzustände <math>\left| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left| lm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle </math> sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}</math> aber nicht zu <math>{{\hat{J}}^{2}}</math>, da <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0</math> bzw. <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math> |
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| Produktzustände <math>\left| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left| lm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle </math> | |
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| sind Eigenzustände zu <math>{{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}</math> | |
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| aber nicht zu <math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | |
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| , da | |
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| <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0</math> | |
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| bzw. <math>\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0</math> | |
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| '''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> | | '''Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu '''<math>{{\hat{J}}^{2}}</math> |
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| Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis | | Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis |
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| Clebsch- Gordan- Koeffizienten ! | | {{FB|Clebsch-Gordan-Koeffizienten}} ! |
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| <math>\left\langle lms{{m}_{s}} \right|\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> | | <math>\left\langle lms{{m}_{s}} \right|\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle </math> |
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| Dabei gilt: | | Dabei gilt: |
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| <math>s=\frac{1}{2}</math> | | {| class="wikitable" border="1" |
| <math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>
| | |- |
| <math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math>
| | !<math>s=\frac{1}{2}</math> !!<math>{{m}_{s}}=\frac{1}{2}</math>!!<math>{{m}_{s}}=-\frac{1}{2}</math> |
| | | |- |
| <math>j=l+\frac{1}{2}</math> | | |<math>j=l+\frac{1}{2}</math>||<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>||<math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> |
| <math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
| | |- |
| <math>{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
| | |<math>j=l-\frac{1}{2}</math>||<math>-{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>||<math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> |
| | | |} |
| <math>j=l-\frac{1}{2}</math> | |
| <math>-{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
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| <math>{{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
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| Wobei: | | Wobei: |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
Die Vertauschungsrelationen:
Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
Drehimpuls Vertauschungsrelationen !
Ebenso:
Also:
Die Produktzustände sind Eigenzustände zu aber nicht zu , da bzw.
Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu
,
,
.
Dies muss möglich sein, da
Die Eigenwertgleichungen lauten:
Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand
bezüglich des alten Zustandes
entwickelt werden:
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis
Clebsch-Gordan-Koeffizienten !
Dabei gilt:
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Wobei: