Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.
Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften als:
Dabei versteht man
- als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und
- als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.
|
Beispiel: Bewegung auf einer Fläche
das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken:
Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche:
Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun:
Begründung:
ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen:
ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche
ein Differenzial parallel zur Fläche
Also folgt:
Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht:
|
Beispiel: Starrer Körper
Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung
Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren:
Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.
Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.
Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:
Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft:
im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln.
Jedoch gilt:
Beweis:
- und
|
Allgemeine Forderung
Allgemein kann man fordern:
für alle betrachteten Zwangskräfte.
Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.
Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip:
|
Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen
Beispiel für ein Variationsprinzip:
Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):
Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn
- .
Variationsprinzip mit Nebenbedingungen
Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:
Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:
Nebenbedingung:
- charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung
Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
Denn: Wenn die Vektorkomponenten frei variierbar wären, also beliebig, so müsste gelten:
Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:
- Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren Wir erhalten:
- Nun sind aus den Nebenbedingungen zu eliminieren. Die verbleibenden sind nun frei variierbar.
- Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:
- Es lassen sich derart bestimmen, dass
- Das heißt, wir suchen die aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die als Funktion der ; Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.
- Da hier jedoch die frei variierbar sind, gilt:
Lagrange- Gleichung der 1. Art
|
- kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.