Die Quantisierung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Quantisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Die Quantisierung	Formalisierung der Quantenmechanik
	Zustandsvektoren im Hilbertraum Operatoren im Hilbertraum Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren Die Quantisierung Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild Der harmonische Oszillator	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: $x\to {\hat {x}}$

Geschwindigkeit: ${\dot {x}}\to {\dot {\hat {x}}}:={\frac {{\hat {p}}_{kin}}{m}}={\frac {{\hat {p}}-e{\bar {A}}}{m}}$

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität: ${\hat {P}}$

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch ${\begin{aligned}&{\hat {P}}\Psi ({\bar {r}})=\Psi (-{\bar {r}})\\&{\hat {P}}\left|{\bar {r}}\right\rangle =\left|-{\bar {r}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Dies kann jedoch bedeuten: ${\hat {P}}\left|\Psi \right\rangle =\pm \left|\Psi \right\rangle$

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind $\pm 1$ .

Es gilt: ${\begin{aligned}&{{\hat {P}}^{2}}=1\\&{{\hat {P}}^{-1}}={{\hat {P}}^{+}}={\hat {P}}\\\end{aligned}}$

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand $\left|\Psi \right\rangle$

?

Der Projektionsoperator lautet:

${{\hat {P}}_{\Psi }}:=\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|$

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich ${{\hat {P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat {P}}_{\Psi }}={{\hat {P}}_{\Psi }}$

Die Wirkung:

${{\hat {P}}_{\Psi }}\left|\Psi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi |\Psi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle 1=\left|\Psi \right\rangle$

Eigenwert +1

${{\hat {P}}_{\Psi }}\left|\Phi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi |\Phi \right\rangle =0$

Eigenwert 0, falls $\left|\Phi \right\rangle \bot \left|\Psi \right\rangle$

Befindet sich ein Zustand $\left|\Phi \right\rangle$

teilweise im Zustand $\left|\Psi \right\rangle$ ,

so gilt:

${{\hat {P}}_{\Psi }}\left|\Phi \right\rangle =\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi |\Phi \right\rangle =c\left|\Psi \right\rangle$

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands $\left|\Psi \right\rangle$

in $\left|\Phi \right\rangle$ ,

also die Wurzel des Anteils von $\left|\Phi \right\rangle$

in $\left|\Psi \right\rangle$

Vertauschungsrelationen

Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

$\left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]=0\Leftrightarrow$

${\hat {F}}$

und ${\hat {G}}$

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

$\left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]=0\Leftrightarrow$

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

$\left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\neq 0\Leftrightarrow$

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

${\begin{aligned}&\left[{{\hat {p}}_{i}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{{\delta }_{ik}}1\\&\left[{{\hat {p}}_{i}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=\left[{{\hat {x}}_{i}},{{\hat {x}}_{k}}\right]=0\\\end{aligned}}$

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

Übungsweise kann man zeigen:

${\begin{aligned}&\left[{\hat {p}},T\right]=?\\&\left[F,{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial F}{\partial {{p}_{k}}}}\\&\left[F,{{\hat {p}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial F}{\partial {{x}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Berechnung in der Ortsdarstellung:

$\left[{{\hat {p}}_{i}},{{\hat {x}}_{k}}\right]\Psi ({\bar {r}})={\frac {\hbar }{i}}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}{\frac {\hbar }{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={\frac {\hbar }{i}}{{\delta }_{ik}}\Psi$

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

Der Meßprozeß:

$\left|\Phi \right\rangle -1.MessungvonF\to \left|\Phi {\acute {\ }}\right\rangle -2.MessungvonF\to \left|\Phi {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right\rangle$

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in $\left|\Phi {\acute {\ }}\right\rangle$

und F´´in $\left|\Phi {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right\rangle$ .

Forderung: F´ = F ´´

→$F{\acute {\ }}=F{\acute {\ }}{\acute {\ }}={{F}_{n}}$

(Eigenwert)

$\left|\Phi {\acute {\ }}\right\rangle$

=$\left|\Phi {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right\rangle$

=$\left|n\right\rangle$

Eigenzustand zu ${\hat {F}}$

Also: $\left|\Phi \right\rangle \to \left|n\right\rangle$

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts $\left|-1\right\rangle$

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen $\left|\Psi \right\rangle$

${\begin{aligned}&\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{n,n{\acute {\ }}}^{}{\left\langle \Psi |n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {F}}\left|n{\acute {\ }}\right\rangle \left\langle n{\acute {\ }}|\Psi \right\rangle }\\&\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|n{\acute {\ }}\right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn{\acute {\ }}}}\\&\Rightarrow \left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{n}^{}{{{F}_{n}}{{\left|\left\langle n|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand $\left|\Psi \right\rangle$ (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:

$p({{F}_{n}})={{\left|\left\langle n|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}$

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:

$p({\bar {r}})={{\left|\Psi ({\bar {r}})\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}$

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:

${{\left|\left\langle n|\Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi |n\right\rangle \left\langle n|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat {P}}_{n}}\left|\Psi \right\rangle =\left\langle {{\hat {P}}_{n}}\right\rangle$

Maximalmessung:

Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG. Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet! Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind der Zustand $\left|n,\alpha ,...\right\rangle$ ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt. Spezialfall: Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind (z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR ${\hat {H}}$ eine vollständige Observable Bei Entartung: Weitere, mit ${\hat {H}}$ vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3) Der Hilbertraum H eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt. Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe Seien ${\hat {F}}$ und ${\hat {G}}$ hermitesche Operatoren und $\left|\Psi \right\rangle$ ein beliebiger Zustand.

${\begin{aligned}&\Delta {\hat {F}}:={\hat {F}}-\left\langle {\hat {F}}\right\rangle \\&\Delta {\hat {G}}:={\hat {G}}-\left\langle {\hat {G}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

sind ebenfalls hermitesche Operatoren Bilde:

${\begin{aligned}&f(\lambda ):=\left\langle \left(\Delta {\hat {F}}+i\lambda \Delta {\hat {G}}\right)\left(\Delta {\hat {F}}-i\lambda \Delta {\hat {G}}\right)\right\rangle \\&=\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle -i\lambda \left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle +{{\lambda }^{2}}\left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle \\&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\alpha \geq 0\\&\left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle :=\beta \\&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\gamma \geq 0\\\end{aligned}}$

Dies ist eine quadratische Funktion von $\lambda$ mit$f(\lambda )\to \infty$ für $\lambda \to \infty$

Lemma: Für hermitesche Operatoren ${\hat {F}}$ und ${\hat {G}}$ gilt:

${\begin{aligned}&\left\langle {\hat {A}}{\hat {A}}\right\rangle \geq 0\\&{{\left\langle i{\hat {A}}\right\rangle }^{+}}=-\left\langle i{\hat {A}}\right\rangle \\&\left\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\right\rangle *=\left\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Mit ${\hat {Q}}:=\Delta {\hat {F}}-i\lambda \Delta {\hat {G}}\Rightarrow {{\hat {Q}}^{+}}:=\Delta {\hat {F}}+i\lambda \Delta {\hat {G}}$

Suche nach dem Minimum:

${\begin{aligned}&f{\acute {\ }}(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0\\&\Rightarrow {{\lambda }_{0}}={\frac {i}{2}}{\frac {\beta }{\gamma }}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\alpha \geq 0\\&\left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle :=\beta \\&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle :=\gamma \geq 0\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&f({{\lambda }_{0}})=\alpha +{\frac {{\beta }^{2}}{2\gamma }}-{\frac {{\beta }^{2}}{4\gamma }}=\alpha +{\frac {{\beta }^{2}}{4\gamma }}\geq 0\\&{{\beta }^{2}}={{\left\langle \left[\Delta {\hat {F}},\Delta {\hat {G}}\right]\right\rangle }^{2}}={{\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle }^{2}}=-\left\langle \left[{\hat {G}},{\hat {F}}\right]\right\rangle \left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle =-\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle *\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle =-{{\left|\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle \right|}^{2}}\\&\Rightarrow \left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle \left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle \geq {\frac {1}{4}}{{\left|\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle \right|}^{2}}\\\end{aligned}}$

Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß

${\sqrt {\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle \left\langle {{\left(\Delta {\hat {G}}\right)}^{2}}\right\rangle }}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {F}},{\hat {G}}\right]\right\rangle \right|$

(Unschärferelation)

Speziell:

${\begin{aligned}&\left[{\hat {p}},{\hat {x}}\right]={\frac {\hbar }{i}}1\\&{\sqrt {\left\langle {{\left(\Delta {\hat {p}}\right)}^{2}}\right\rangle \left\langle {{\left(\Delta {\hat {x}}\right)}^{2}}\right\rangle }}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {p}},{\hat {x}}\right]\right\rangle \right|={\frac {\hbar }{2}}\\\end{aligned}}$

Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe Zusammenfassung Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor $\left|\Psi \right\rangle$ ausgedrückt Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator ${\hat {F}}$.

Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert $\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}\left|\Psi \right\rangle$

Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert: $\left|\Psi \right\rangle \to \left|n\right\rangle$

Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\Psi \right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle$

Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst.