Die elektrostatische Feldenergie

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die elektrostatische Feldenergie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Die elektrostatische Feldenergie	Elektrostatik	Elektrodynamik Schöll
	Coulomb- Wechselwirkung Elektrisches Feld und Potenziale Poisson- Gleichung und Greensche Funktion Elektrische Multipolentwicklung Die elektrostatische Feldenergie	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Kraft:

${\begin{aligned}&{\bar {F}}({\bar {r}})=q{\bar {E}}({\bar {r}})=-q\nabla \Phi ({\bar {r}})\\&\Rightarrow V({\bar {r}})=\Phi ({\bar {r}})\\\end{aligned}}$

ist die potenzielle Energie! einer Ladung im Feld ${\bar {E}}({\bar {r}})$

Also:

${{W}_{ij}}={{q}_{i}}{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{q}_{j}}{|{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}|}}={{W}_{ji}}$

ist die Energie der Ladung ${{q}_{i}}$ an ${{\bar {r}}_{i}}$ im Feld der Ladung

${{q}_{j}}$ an ${{\bar {r}}_{j}}$. (In ihrem Potenzial)

Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:

$W={\frac {1}{2}}\sum \limits _{\begin{smallmatrix}i,j\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{}{}{{W}_{ij}}={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{\begin{smallmatrix}i,j\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{}{}{\frac {{{q}_{i}}{{q}_{j}}}{|{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}|}}={{W}_{ji}}$

und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:

$W={\frac {1}{2}}\int _{}^{}{\Phi ({\bar {r}})\rho ({\bar {r}}){{d}^{3}}r}={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {\rho ({\bar {r}})\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}$

$W={\frac {1}{2}}\int _{}^{}{\Phi ({\bar {r}})\rho ({\bar {r}}){{d}^{3}}r}$

Mit $\rho ({\bar {r}})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}$ folgt:

$W={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}\int _{{R}^{3}}^{}{\Phi ({\bar {r}})\nabla \cdot {\bar {E}}{{d}^{3}}r}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}\left[\int _{{R}^{3}}^{}{\nabla \cdot \left(\Phi ({\bar {r}}){\bar {E}}\right){{d}^{3}}r}-\int _{{R}^{3}}^{}{\left(\nabla \Phi ({\bar {r}})\right)\cdot {\bar {E}}{{d}^{3}}r}\right]$

Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:

${\begin{aligned}&W={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}\left[\int _{{S}_{\infty }}^{}{\left(\Phi ({\bar {r}}){\bar {E}}\right)d{\bar {f}}}+\int _{{R}^{3}}^{}{{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r}\right]\\&{\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}\left(\Phi ({\bar {r}}){\bar {E}}\right)=0\\&\\\end{aligned}}$

da die Größen ~ 1/3 bzw. 1/r² gehen

Also:

$W=\int _{{R}^{3}}^{}{{\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r}=\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}rw({\bar {r}})}$

Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:

$w({\bar {r}})={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}})$

Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu

${\begin{aligned}&\left|{\bar {E}}({\bar {r}})\right|={\frac {q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}}\\&w({\bar {r}})={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\left({\frac {q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\right)}^{2}}{\frac {1}{{r}^{4}}}\\\end{aligned}}$

und die Gesamtenergie ist folglich:

${\begin{aligned}&W=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}w({\bar {r}})={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\left({\frac {q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\right)}^{2}}4\pi \int _{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}{\frac {1}{{r}^{4}}}\\&\int _{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}{\frac {1}{{r}^{4}}}=\int _{0}^{\infty }{dr}{\frac {1}{{r}^{2}}}=\left[{\frac {1}{r}}\right]_{0}^{\infty }\to \infty \\\end{aligned}}$

Dies divergiert jedoch!! Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird $i\neq j$ nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.

Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der Punktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte (wen wunderts ?)