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Somit:
Somit:
<math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
: <math>\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
{{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}}
{{Def|Mit der '''Larmor-Frequenz''' <math>{{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}</math>|Larmor-Frequenz}}
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist <math>\hat{H}=\hat{V}</math> der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>
:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]</math>
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:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>
:<math>\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle </math>
<math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\
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:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>
:<math>\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0</math>
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
<math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\
& {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
[[File:Moglf2119_Peonza_simétrica.jpg|miniatur|klassischer Kreisel]]
[[File:Moglf2119 Peonza simétrica .jpg|miniatur|klassischer Kreisel]]
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
Wähle:
o.B. d.A.:
o.B. d.A.:
<math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math>
: <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0</math>
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
Zeile 46:
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Mit anderen Worten:
Mit anderen Worten:
:<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
:<math>{{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const</math>, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld.
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld.
==Schrödingergleichung für die Spinzustände ==
==Schrödingergleichung für die Spinzustände==
{{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math>|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
{{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math> '''(Schrödingergleichung für Spinzustände)''' |Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Dabei muss der Zustand <math>\left| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein:
Dabei muss der Zustand <math>\left| a(t) \right\rangle </math> in der Spinbasis entwickelbar sein:
<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle </math>
: <math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle </math>
'''Matrix- Darstellung:'''
'''Matrix- Darstellung:'''
Zeile 76:
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Die Lösung lautet:
Die Lösung lautet:
<math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
& {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\
& {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\
& {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\
& {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
<math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>
: <math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben !
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben!
===Zustände mit Bahn- und Spinvariablen===
Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
<math>\begin{align}
& \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\
& \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\
& \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\
\end{align}</math>
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
( äquivalente Sprechweise):
<math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>
zerlegt werden:
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>
mit
<math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math>
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand <math>\alpha =1,2</math>
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix}
\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)</math>
Mit
<math>\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)</math>
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>
Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle </math>
folgt aus:
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math>
Weiter:
<math>\begin{align}
& \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
& \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{align}</math>
Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>
am Ort <math>\bar{r}</math>
, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math>
und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>
. Dabei gilt:
{{#ask:[[Kategorie:Mechanik]] [[Abschnitt::0]]
|format=ol
|order=ASC
|sort=Kapitel
|offset=0
|limit=20
}} entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math>
mit Spin <math>\uparrow </math>
bzw. Spin <math>\downarrow </math>
zu finden.
<u>'''Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum'''</u>
Hamilton- Operator für Bahn:
<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
Elektron mit Ladung e<0
Wirkt alleine im Hilbertraum <math>{{H}_{B}}</math>
Hamilton- Operator für Spin:
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
& {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\
\end{align}</math>
<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>
Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
:
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\
& \alpha =1,2 \\
\end{align}</math>
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math>
:
Es gilt (äquivalente Darstellung):
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
& \alpha =1,2 \\
\end{align}</math>
Dabei
<math>1</math>
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right)</math>
MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
:
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>
In Matrix- Darstellung:
<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\
0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right) \\
& \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
& \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{align}</math>
PAULI- GLEICHUNG
'''Anwendung'''
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>
<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math>
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
<math>\begin{align}
& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
& \hat{H}\cong \left[ \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\
\end{align}</math>
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
eine Korrektur an die Energie.
'''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin'''
<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math>
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
<math>B\ne 0</math>
<math>\begin{align}
& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\
& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[ {{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\
\end{align}</math>
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>
- fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
<math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
<math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
Dabei entspricht
<math>2</math>
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
'''Tabelle: Landé- Faktoren'''
'''Teilchen''' '''s''' '''g''' '''Q'''
'''Elektron''' '''1/2''' '''2''' '''-e'''
'''Proton''' '''1/2''' '''5,59''' '''e'''
'''Neutron''' '''1/2''' '''-3,83''' '''0'''
'''Neutrino''' '''1/2''' '''0''' '''0'''
'''Photon''' '''1''' '''0''' '''0'''
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD .
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins
μ
¯
{\displaystyle {\bar {\mu }}}
im äußeren Magnetfeld
B
¯
=
B
e
¯
3
{\displaystyle {\bar {B}}=B{{\bar {e}}_{3}}}
beträgt:
V
=
−
μ
¯
^
⋅
B
¯
{\displaystyle V=-{\hat {\bar {\mu }}}\cdot {\bar {B}}}
mit
μ
¯
^
=
+
g
e
2
m
0
S
¯
^
=
+
e
ℏ
2
m
0
σ
¯
^
{\displaystyle {\hat {\bar {\mu }}}=+g{\frac {e}{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {S}}}=+{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}}
mit g~ 2 und e<0
Somit:
V
^
=
−
e
ℏ
2
m
0
σ
¯
^
⋅
B
¯
=
−
e
ℏ
B
2
m
0
σ
¯
^
3
=
ℏ
ω
l
σ
¯
^
3
{\displaystyle {\hat {V}}=-{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}\cdot {\bar {B}}=-{\frac {e\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}}
Mit der Larmor-Frequenz
ω
l
:=
|
e
|
B
2
m
0
{\displaystyle {{\omega }_{l}}:={\frac {|e|B}{2{{m}_{0}}}}}
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist
H
^
=
V
^
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {V}}}
der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
σ
¯
^
∘
=
i
ℏ
[
H
^
,
σ
¯
^
]
=
i
ω
l
[
σ
¯
^
3
,
σ
¯
^
]
{\displaystyle {{\hat {\bar {\sigma }}}^{\circ }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {\sigma }}}\right]=i{{\omega }_{l}}\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right]}
Berechnung der Erwartungswerte mit
[
σ
¯
^
j
,
σ
¯
^
k
]
=
2
i
ε
j
k
l
σ
¯
^
l
{\displaystyle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{k}}\right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{l}}}
:
d
d
t
⟨
σ
¯
^
1
⟩
=
i
ℏ
⟨
[
H
,
σ
¯
^
1
]
⟩
=
i
ω
l
⟨
[
σ
¯
^
3
,
σ
¯
^
1
]
⟩
=
−
2
ω
l
⟨
σ
¯
^
2
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }
d
d
t
⟨
σ
¯
^
1
⟩
=
−
2
ω
l
⟨
σ
¯
^
2
⟩
d
d
t
⟨
σ
¯
^
2
⟩
=
2
ω
l
⟨
σ
¯
^
1
⟩
d
d
t
⟨
σ
¯
^
3
⟩
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}}
Dies läßt sich reduzieren:
d
2
d
t
2
⟨
σ
¯
^
1
⟩
+
(
2
ω
l
)
2
⟨
σ
¯
^
1
⟩
=
0
{\displaystyle {\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle +{{\left(2{{\omega }_{l}}\right)}^{2}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =0}
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
⟨
σ
¯
^
1
⟩
t
=
⟨
σ
¯
^
2
⟩
0
sin
(
2
ω
l
t
)
+
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
cos
(
2
ω
l
t
)
⟨
σ
¯
^
2
⟩
t
=
⟨
σ
¯
^
2
⟩
0
cos
(
2
ω
l
t
)
−
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
sin
(
2
ω
l
t
)
⟨
σ
¯
^
3
⟩
t
=
⟨
σ
¯
^
3
⟩
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)-{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}\\\end{aligned}}}
klassischer Kreisel
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
⟨
σ
¯
^
2
⟩
0
=
0
{\displaystyle {{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}=0}
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
|
⟨
σ
¯
^
⟩
t
|
2
=
⟨
σ
¯
^
1
⟩
t
2
+
⟨
σ
¯
^
2
⟩
t
2
+
⟨
σ
¯
^
3
⟩
t
2
=
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
2
[
cos
2
(
2
ω
l
t
)
+
sin
2
(
2
ω
l
t
)
]
+
⟨
σ
¯
^
3
⟩
0
2
=
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
2
+
⟨
σ
¯
^
3
⟩
0
2
{\displaystyle {{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}\left[{{\cos }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\sin }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)\right]+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}}
Mit anderen Worten:
|
⟨
σ
¯
^
⟩
t
|
2
=
|
⟨
σ
¯
^
⟩
0
|
2
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle {{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{0}}\right|}^{2}}=const}
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz
2
ω
l
{\displaystyle 2{{\omega }_{l}}}
um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände
ℏ
ω
l
σ
¯
^
3
|
a
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
a
(
t
)
⟩
{\displaystyle \hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|a(t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|a(t)\right\rangle }
(Schrödingergleichung für Spinzustände)
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Dabei muss der Zustand
|
a
(
t
)
⟩
{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle }
in der Spinbasis entwickelbar sein:
|
a
(
t
)
⟩
=
a
1
(
t
)
|
↑
⟩
+
a
2
(
t
)
|
↓
⟩
{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left|\downarrow \right\rangle }
Matrix- Darstellung:
ℏ
ω
l
(
1
0
0
−
1
)
(
a
1
(
t
)
a
2
(
t
)
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
(
a
1
(
t
)
a
2
(
t
)
)
⇔
−
i
ω
l
a
1
=
a
˙
1
i
ω
l
a
2
=
a
˙
2
{\displaystyle \hbar {{\omega }_{l}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow {\begin{matrix}-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{\dot {a}}_{1}}\\i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{\dot {a}}_{2}}\\\end{matrix}}}
Die Lösung lautet:
a
1
(
t
)
=
a
10
e
−
i
ω
l
t
a
2
(
t
)
=
a
20
e
i
ω
l
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\\&{{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\\\end{aligned}}}
|
a
(
t
)
⟩
=
a
10
e
−
i
ω
l
t
|
↑
⟩
+
a
20
e
i
ω
l
t
|
↓
⟩
{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left|\downarrow \right\rangle }
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man
⟨
σ
¯
^
j
⟩
t
{\displaystyle {{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}}\right\rangle }_{t}}}
, also die Spinpräzession wie oben!