Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
|
Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
|
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins
im äußeren Magnetfeld
beträgt:
mit
mit g~ 2 und e<0
Somit:
Mit der Larmor- Frequenz
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist
der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
Berechnung der Erwartungswerte mit
Dies läßt sich reduzieren:
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems ( feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
Mit anderen Worten:
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz
um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände ( Pauli- Gleichungen)
Achtung ! Nur Spin- Hamiltonian !
Dabei muss der Zustand
in der Spinbasis entwickelbar sein:
Matrix- Darstellung:
Die Lösung lautet:
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man
, also die Spinpräzession wie oben !
Zustände mit Bahn- und Spinvariablen
Sei nun
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
( äquivalente Sprechweise):
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
zerlegt werden:
mit
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
Mit
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
Die Vollständigkeit der Zustände
folgt aus:
Weiter:
Also die Komponenten von
am Ort
, einmal die Komponente mit Spin
und einmal die Komponente mit Spin
. Dabei gilt:
- Das d'Alembertsche Prinzip
- Das Hamiltonsche Prinzip
- Symmetrien und Erhaltungsgrößen
- Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
- Die Hamilton-Jacobi-Theorie
- Mechanik des starren Körpers
- Dynamische Systeme und deterministisches Chaos
entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
mit Spin
bzw. Spin
zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Hamilton- Operator für Bahn:
Elektron mit Ladung e<0
Wirkt alleine im Hilbertraum
Hamilton- Operator für Spin:
wirkt dabei nur im Hilbertraum
Ohne Berücksichtigung von
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Dabei
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
MIT Berücksichtigung von
In Matrix- Darstellung:
PAULI- GLEICHUNG
Anwendung
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
Dabei wird durch
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
Insgesamt
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der
- fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
Dabei entspricht
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen s g Q
Elektron 1/2 2 -e
Proton 1/2 5,59 e
Neutron 1/2 -3,83 0
Neutrino 1/2 0 0
Photon 1 0 0