Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD .
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins
μ
¯
{\displaystyle {\bar {\mu }}}
im äußeren Magnetfeld
B
¯
=
B
e
¯
3
{\displaystyle {\bar {B}}=B{{\bar {e}}_{3}}}
beträgt:
V
=
−
μ
¯
^
⋅
B
¯
{\displaystyle V=-{\hat {\bar {\mu }}}\cdot {\bar {B}}}
mit
μ
¯
^
=
+
g
e
2
m
0
S
¯
^
=
+
e
ℏ
2
m
0
σ
¯
^
{\displaystyle {\hat {\bar {\mu }}}=+g{\frac {e}{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {S}}}=+{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}}
mit g~ 2 und e<0
Somit:
V
^
=
−
e
ℏ
2
m
0
σ
¯
^
⋅
B
¯
=
−
e
ℏ
B
2
m
0
σ
¯
^
3
=
ℏ
ω
l
σ
¯
^
3
{\displaystyle {\hat {V}}=-{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}\cdot {\bar {B}}=-{\frac {e\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}}
Mit der Larmor-Frequenz
ω
l
:=
|
e
|
B
2
m
0
{\displaystyle {{\omega }_{l}}:={\frac {|e|B}{2{{m}_{0}}}}}
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist
H
^
=
V
^
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {V}}}
der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
σ
¯
^
∘
=
i
ℏ
[
H
^
,
σ
¯
^
]
=
i
ω
l
[
σ
¯
^
3
,
σ
¯
^
]
{\displaystyle {{\hat {\bar {\sigma }}}^{\circ }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {\sigma }}}\right]=i{{\omega }_{l}}\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right]}
Berechnung der Erwartungswerte mit
[
σ
¯
^
j
,
σ
¯
^
k
]
=
2
i
ε
j
k
l
σ
¯
^
l
{\displaystyle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{k}}\right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{l}}}
:
d
d
t
⟨
σ
¯
^
1
⟩
=
i
ℏ
⟨
[
H
,
σ
¯
^
1
]
⟩
=
i
ω
l
⟨
[
σ
¯
^
3
,
σ
¯
^
1
]
⟩
=
−
2
ω
l
⟨
σ
¯
^
2
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }
d
d
t
⟨
σ
¯
^
1
⟩
=
−
2
ω
l
⟨
σ
¯
^
2
⟩
d
d
t
⟨
σ
¯
^
2
⟩
=
2
ω
l
⟨
σ
¯
^
1
⟩
d
d
t
⟨
σ
¯
^
3
⟩
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}}
Dies läßt sich reduzieren:
d
2
d
t
2
⟨
σ
¯
^
1
⟩
+
(
2
ω
l
)
2
⟨
σ
¯
^
1
⟩
=
0
{\displaystyle {\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle +{{\left(2{{\omega }_{l}}\right)}^{2}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =0}
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
⟨
σ
¯
^
1
⟩
t
=
⟨
σ
¯
^
2
⟩
0
sin
(
2
ω
l
t
)
+
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
cos
(
2
ω
l
t
)
⟨
σ
¯
^
2
⟩
t
=
⟨
σ
¯
^
2
⟩
0
cos
(
2
ω
l
t
)
−
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
sin
(
2
ω
l
t
)
⟨
σ
¯
^
3
⟩
t
=
⟨
σ
¯
^
3
⟩
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)-{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}\\\end{aligned}}}
klassischer Kreisel
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
⟨
σ
¯
^
2
⟩
0
=
0
{\displaystyle {{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}=0}
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
|
⟨
σ
¯
^
⟩
t
|
2
=
⟨
σ
¯
^
1
⟩
t
2
+
⟨
σ
¯
^
2
⟩
t
2
+
⟨
σ
¯
^
3
⟩
t
2
=
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
2
[
cos
2
(
2
ω
l
t
)
+
sin
2
(
2
ω
l
t
)
]
+
⟨
σ
¯
^
3
⟩
0
2
=
⟨
σ
¯
^
1
⟩
0
2
+
⟨
σ
¯
^
3
⟩
0
2
{\displaystyle {{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}\left[{{\cos }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\sin }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)\right]+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}}
Mit anderen Worten:
|
⟨
σ
¯
^
⟩
t
|
2
=
|
⟨
σ
¯
^
⟩
0
|
2
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle {{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{0}}\right|}^{2}}=const}
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz
2
ω
l
{\displaystyle 2{{\omega }_{l}}}
um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände
ℏ
ω
l
σ
¯
^
3
|
a
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
a
(
t
)
⟩
{\displaystyle \hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|a(t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|a(t)\right\rangle }
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Dabei muss der Zustand
|
a
(
t
)
⟩
{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle }
in der Spinbasis entwickelbar sein:
|
a
(
t
)
⟩
=
a
1
(
t
)
|
↑
⟩
+
a
2
(
t
)
|
↓
⟩
{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left|\downarrow \right\rangle }
Matrix- Darstellung:
ℏ
ω
l
(
1
0
0
−
1
)
(
a
1
(
t
)
a
2
(
t
)
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
(
a
1
(
t
)
a
2
(
t
)
)
⇔
−
i
ω
l
a
1
=
a
˙
1
i
ω
l
a
2
=
a
˙
2
{\displaystyle \hbar {{\omega }_{l}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow {\begin{matrix}-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{\dot {a}}_{1}}\\i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{\dot {a}}_{2}}\\\end{matrix}}}
Die Lösung lautet:
a
1
(
t
)
=
a
10
e
−
i
ω
l
t
a
2
(
t
)
=
a
20
e
i
ω
l
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\\&{{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\\\end{aligned}}}
|
a
(
t
)
⟩
=
a
10
e
−
i
ω
l
t
|
↑
⟩
+
a
20
e
i
ω
l
t
|
↓
⟩
{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left|\downarrow \right\rangle }
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man
⟨
σ
¯
^
j
⟩
t
{\displaystyle {{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}}\right\rangle }_{t}}}
, also die Spinpräzession wie oben !
Zustände mit Bahn- und Spinvariablen
Sei nun
|
n
l
m
m
s
⟩
{\displaystyle \left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle }
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
|
n
l
m
m
s
⟩
=
|
n
l
m
⟩
|
m
s
⟩
∈
H
B
×
H
S
|
n
l
m
⟩
∈
H
B
|
m
s
⟩
∈
H
S
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle =\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}\\&\left|nlm\right\rangle \in {{H}_{B}}\\&\left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{S}}\\\end{aligned}}}
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
|
n
1
n
2
⟩
=
|
n
1
⟩
|
n
2
⟩
{\displaystyle \left|{{n}_{1}}{{n}_{2}}\right\rangle =\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left|{{n}_{2}}\right\rangle }
( äquivalente Sprechweise):
⟨
m
1
m
2
|
|
n
1
n
2
⟩
=
⟨
m
1
m
2
|
|
n
1
⟩
⟨
m
1
m
2
|
|
n
2
⟩
=
⟨
m
1
|
|
n
1
⟩
⟨
m
2
|
|
n
2
⟩
{\displaystyle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{1}}{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}\right|\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{2}}\right\rangle }
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
|
↑
⟩
,
|
↓
⟩
{\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle }
zerlegt werden:
|
Ψ
⟩
t
=
|
Ψ
1
⟩
t
|
↑
⟩
+
|
Ψ
2
⟩
t
|
↓
⟩
{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\left|\downarrow \right\rangle }
mit
|
Ψ
α
⟩
t
=
∫
d
3
r
|
r
¯
⟩
⟨
r
¯
|
|
Ψ
α
⟩
t
{\displaystyle {{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}}
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
α
=
1
,
2
{\displaystyle \alpha =1,2}
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
|
Ψ
⟩
t
=
(
|
Ψ
1
⟩
t
|
Ψ
2
⟩
t
)
=
∫
d
3
r
|
r
¯
⟩
(
⟨
r
¯
|
|
Ψ
1
⟩
t
⟨
r
¯
|
|
Ψ
2
⟩
t
)
{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left({\begin{matrix}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)}
Mit
(
|
Ψ
1
⟩
t
|
Ψ
2
⟩
t
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)}
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
|
↑
⟩
,
|
↓
⟩
{\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle }
Die Vollständigkeit der Zustände
|
r
¯
↑
⟩
=
|
r
¯
⟩
|
↑
⟩
,
|
r
¯
↓
⟩
=
|
r
¯
⟩
|
↓
⟩
{\displaystyle \left|{\bar {r}}\uparrow \right\rangle =\left|{\bar {r}}\right\rangle \left|\uparrow \right\rangle ,\left|{\bar {r}}\downarrow \right\rangle =\left|{\bar {r}}\right\rangle \left|\downarrow \right\rangle }
folgt aus:
∫
d
3
r
{
|
r
¯
↑
⟩
⟨
r
¯
↑
|
+
|
r
¯
↓
⟩
⟨
r
¯
↓
|
}
=
1
∈
H
B
×
H
S
{\displaystyle \int _{}^{}{{{d}^{3}}r\left\{\left|{\bar {r}}\uparrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|+\left|{\bar {r}}\downarrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|\right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}}
Weiter:
⟨
r
¯
↑
|
|
Ψ
⟩
t
=
⟨
r
¯
|
|
Ψ
1
⟩
t
⟨
r
¯
↓
|
|
Ψ
⟩
t
=
⟨
r
¯
|
|
Ψ
2
⟩
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}}
Also die Komponenten von
|
Ψ
⟩
t
{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}
am Ort
r
¯
{\displaystyle {\bar {r}}}
, einmal die Komponente mit Spin
↑
{\displaystyle \uparrow }
und einmal die Komponente mit Spin
↓
{\displaystyle \downarrow }
. Dabei gilt:
Das Hamiltonsche Prinzip Das d'Alembertsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
r
¯
{\displaystyle {\bar {r}}}
mit Spin
↑
{\displaystyle \uparrow }
bzw. Spin
↓
{\displaystyle \downarrow }
zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Hamilton- Operator für Bahn:
H
^
B
=
1
2
m
0
(
p
¯
−
e
A
¯
)
2
+
V
(
r
)
{\displaystyle {{\hat {H}}_{B}}={\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)}
Elektron mit Ladung e<0
Wirkt alleine im Hilbertraum
H
B
{\displaystyle {{H}_{B}}}
Hamilton- Operator für Spin:
H
^
S
=
−
ℏ
ω
l
σ
¯
^
3
ω
l
=
|
e
|
B
2
m
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\omega }_{l}}={\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}}
H
^
S
{\displaystyle {{\hat {H}}_{S}}}
wirkt dabei nur im Hilbertraum
H
S
{\displaystyle {{H}_{S}}}
Ohne Berücksichtigung von
H
^
S
{\displaystyle {{\hat {H}}_{S}}}
H
^
B
|
Ψ
α
⟩
t
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
Ψ
α
⟩
t
α
=
1
,
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}}
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
H
B
{\displaystyle {{H}_{B}}}
Es gilt (äquivalente Darstellung):
H
^
B
|
Ψ
α
⟩
t
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
Ψ
α
⟩
t
⇔
(
H
^
B
×
1
)
|
Ψ
⟩
t
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
Ψ
⟩
t
α
=
1
,
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{B}}\times 1\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}}
Dabei
1
{\displaystyle 1}
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
1
=
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle 1=\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)}
MIT Berücksichtigung von
H
^
S
{\displaystyle {{\hat {H}}_{S}}}
(
H
^
B
×
1
+
H
^
S
)
|
Ψ
⟩
t
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
Ψ
⟩
t
{\displaystyle \left({{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{\hat {H}}_{S}}\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}
In Matrix- Darstellung:
(
H
^
´
B
+
ℏ
ω
l
0
0
H
^
´
B
−
ℏ
ω
l
)
(
|
Ψ
1
⟩
t
|
Ψ
2
⟩
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
(
|
Ψ
1
⟩
t
|
Ψ
2
⟩
t
)
⇔
(
H
^
´
B
+
ℏ
ω
l
)
|
Ψ
1
⟩
t
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
Ψ
1
⟩
t
(
H
^
´
B
−
ℏ
ω
l
)
|
Ψ
2
⟩
t
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
Ψ
2
⟩
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}&0\\0&{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)\\&\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}}
PAULI- GLEICHUNG
Anwendung
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
B
¯
=
B
e
¯
3
{\displaystyle {\bar {B}}=B{{\bar {e}}_{3}}}
H
^
=
H
^
B
×
1
+
H
S
=
[
1
2
m
0
(
p
¯
−
e
A
¯
)
2
+
V
(
r
)
]
×
1
−
|
e
|
ℏ
B
2
m
0
σ
¯
^
3
{\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}}
Dabei wird durch
H
^
B
×
1
{\displaystyle {{\hat {H}}_{B}}\times 1}
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
H
^
=
H
^
B
×
1
+
H
S
=
[
1
2
m
0
(
p
¯
−
e
A
¯
)
2
+
V
(
r
)
]
×
1
−
|
e
|
ℏ
B
2
m
0
σ
¯
^
3
H
^
≅
[
p
¯
2
2
m
0
+
V
(
r
)
]
×
1
−
|
e
|
B
2
m
0
(
L
^
3
×
1
+
ℏ
σ
¯
^
3
)
p
¯
2
2
m
0
+
V
(
r
)
=
H
0
H
0
|
n
l
m
⟩
=
E
n
l
|
n
l
m
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{\hat {H}}\cong \left[{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left({{\hat {L}}_{3}}\times 1+\hbar {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)\\&{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)={{H}_{0}}\\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm\right\rangle \\\end{aligned}}}
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
|
e
|
B
2
m
0
(
L
^
3
×
1
+
ℏ
σ
¯
^
3
)
{\displaystyle {\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left({{\hat {L}}_{3}}\times 1+\hbar {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)}
eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
(
H
0
×
1
)
|
n
l
m
m
s
⟩
=
E
n
l
|
n
l
m
m
s
⟩
{\displaystyle \left({{H}_{0}}\times 1\right)\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle }
Insgesamt
2
(
2
l
+
1
)
{\displaystyle 2\left(2l+1\right)}
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
B
≠
0
{\displaystyle B\neq 0}
H
^
|
n
l
m
m
s
⟩
=
H
0
|
n
l
m
⟩
|
m
s
⟩
−
|
e
|
B
2
m
0
{
(
L
^
3
|
n
l
m
⟩
)
|
m
s
⟩
+
ℏ
(
σ
¯
^
3
|
m
s
⟩
)
|
n
l
m
⟩
}
L
^
3
|
n
l
m
⟩
=
ℏ
m
|
n
l
m
⟩
σ
¯
^
3
|
m
s
⟩
=
2
m
S
|
m
s
⟩
H
0
|
n
l
m
⟩
|
m
s
⟩
−
|
e
|
B
2
m
0
{
(
L
^
3
|
n
l
m
⟩
)
|
m
s
⟩
+
ℏ
(
σ
¯
^
3
|
m
s
⟩
)
|
n
l
m
⟩
}
=
[
E
n
l
−
|
e
|
ℏ
B
2
m
0
(
m
+
2
m
s
)
]
|
n
l
m
m
s
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {H}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}\\&{{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle =\hbar m\left|nlm\right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle =2{{m}_{S}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}\left(m+2{{m}_{s}}\right)\right]\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle \\\end{aligned}}}
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der
2
(
2
l
+
1
)
{\displaystyle 2(2l+1)}
- fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
E
=
E
n
l
−
μ
B
B
(
m
+
2
m
s
)
{\displaystyle E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left(m+2{{m}_{s}}\right)}
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
μ
3
=
μ
B
(
m
+
2
m
s
)
{\displaystyle {{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left(m+2{{m}_{s}}\right)}
Dabei entspricht
2
{\displaystyle 2}
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von
μ
B
{\displaystyle {{\mu }_{B}}}
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen s g Q
Elektron 1/2 2 -e
Proton 1/2 5,59 e
Neutron 1/2 -3,83 0
Neutrino 1/2 0 0
Photon 1 0 0