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| :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> | | :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> |
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| Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein ! | | Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein! |
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| :<math>\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math> | | :<math>\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math> |
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| '''Fundamentalbeziehung '''der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für <math>\hat{F}</math> | | '''Fundamentalbeziehung '''der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für <math>\hat{F}</math>, |
| , da im Allgemeinen:
| | da im Allgemeinen: |
| :<math>\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}</math> | | :<math>\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}</math> |
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| Merke dazu ( Ehrenfest- Theorem): | | Merke dazu (Ehrenfest- Theorem): |
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| & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ | | & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ |
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| → die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig ! | | → die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! |
| Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich | | Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich |
| :<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math> | | :<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math> |
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| Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": | | Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": |
| Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math> | | Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math>, |
| , also keine explizite Zeitabhängigkeit !
| | also keine explizite Zeitabhängigkeit! |
| Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild ! | | Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild! |
| =====Schrödingerbild:===== | | =====Schrödingerbild:===== |
| Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math> | | Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math> |
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| zeitunabhängig | | zeitunabhängig |
| Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | | Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle </math> |
| zeitabhängig ( Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben): | | zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben): |
| :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> | | :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> |
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| Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! | | Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! |
| Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht ! | | Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! |
| Im <math>{{R}^{2}}</math> | | Im <math>{{R}^{2}}</math> |
| entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math> | | entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math> |
| einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. ( Übungsaufgabe !) | | einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) |
| Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt: | | Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt: |
| :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> | | :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> |
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| Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> | | Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> |
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| Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren ( zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht ( als Zeitentwicklung). | | Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). |
| Aus | | Aus |
| :<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> | | :<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> |
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| Also: | | Also: |
| :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> | | :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> |
| ( Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) | | (Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) |
| Somit folgt für das Heisenbergbild: | | Somit folgt für das Heisenbergbild: |
| :<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> | | :<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> |
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| mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> | | mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> |
| und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math> | | und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>. |
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| Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild: | | Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild: |
| :<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math> | | :<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math> |
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| zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian | | zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian |
| Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math> | | Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math> |
| zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math> | | zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>. |
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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
Zeitentwicklungsoperator
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!
Klar:
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
Mit der formalen Lösung:
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
ergibt sich für
Also:
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
eine klassische Observable und
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
" als Operator:
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für ,
da im Allgemeinen:
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
folgt:
Also:
Denn:
Merke:
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
da ja:
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
Bilder
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte ,
also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
Schrödingerbild:
Operatoren
zeitunabhängig
Eigenvektoren
zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):
Veranschaulichung im
Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht!
Im
entspricht
einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!)
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
Das Heisenbergbild
In diesem Bild sind die
Operatoren
zeitabhängig
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitunabhängig:
Veranschaulichung im
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung).
Aus
folgt:
Also:
(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
Insbesondere gilt:
also die bildunabhängige Darstellung
Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
Wechselwirkungsbild
Sei
mit dem ungestörten Hamiltonoperator
und der Störung .
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
Somit gilt wieder die Relation
Also:
Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian
bildunabhängig.
Aber:
im Allgemeinen
Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
Aber:
Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren
zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator .