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| G8MHyi <a href="http://avtqcaltafzn.com/">avtqcaltafzn</a> | | G8MHyi <a href="http://avtqcaltafzn.com/">avtqcaltafzn</a> |
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| =====Wechselwirkungsbild===== | | dEJ3ST , [url=http://zbjwfnvtiwxh.com/]zbjwfnvtiwxh[/url], [link=http://tiwgdfqlvwfk.com/]tiwgdfqlvwfk[/link], http://qavqulsujcsd.com/ |
| Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>
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| mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>
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| und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>.
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| Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
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| :<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math>
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| Somit gilt wieder die Relation
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| :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math>
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| Also:
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| :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0</math>
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| Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian <math>{{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}</math>
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| bildunabhängig.
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| Aber:
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| :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0</math>
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| im Allgemeinen
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| :<math>\begin{align}
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| & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
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| & {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}} \\
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| & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\
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| & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
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| & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
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| \end{align}</math>
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| Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
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| :<math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
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| & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\
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| & wegen \\
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| & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\
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| & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
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| \end{align}</math>
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| Aber:
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| :<math>{{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>
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| :<math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
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| & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
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| \end{align}</math>
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| :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math>
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| Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
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| :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)</math>
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| Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
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| Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
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| Operatoren <math>{{\hat{F}}_{W}}(t)</math>
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| zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>
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| und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math>
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| zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
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| Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math>
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| zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>.
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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
Zeitentwicklungsoperator
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!
Klar:
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
Mit der formalen Lösung:
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
ergibt sich für
Also:
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
eine klassische Observable und
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
" als Operator:
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für ,
da im Allgemeinen:
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
folgt:
Also:
Denn:
Merke:
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
da ja:
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
Bilder
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte ,
also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
Now I feel sutpid. That's cleared it up for me
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