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| <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|4}}</noinclude> | | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|4}}</noinclude> |
| Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen | | Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen |
| :<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math> | | :<math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math> |
| in der Nähe des Ursprungs | | in der Nähe des Ursprungs |
| :<math>\bar{r}\acute{\ }=0</math> | | :<math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>, |
| , so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von
| | so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von |
| :<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math> | | :<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math> |
| für | | für |
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| Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für | | Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für |
| :<math>r\acute{\ }<r</math> und <math>\left| \cos \vartheta \right|=\left| \xi \right|<1</math> | | :<math>r\acute{\ }<r</math> und <math>\left| \cos \vartheta \right|=\left| \xi \right|<1</math> |
| konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ( Legendre- Polynome): | | konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen (Legendre- Polynome): |
| :<math>{{P}_{l}}(\xi )</math> | | :<math>{{P}_{l}}(\xi )</math> |
| : | | : |
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| :<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math> | | :<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math> |
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| Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe ( Taylorreihe) multipliziert mit | | Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit |
| :<math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math> | | :<math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math> |
| in jeweils l-ter Ordnung die Funktion | | in jeweils l-ter Ordnung die Funktion |
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| :<math>{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math> | | :<math>{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math> |
| als 2<sup>l</sup>- Pol | | als 2<sup>l</sup>- Pol |
| Die Multipolentwicklung ( Entwicklung nach 2<sup>l</sup>- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r !! | | Die Multipolentwicklung (Entwicklung nach 2<sup>l</sup>- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r!! |
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| Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen ( r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell ! | | Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen (r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell! |
| Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für | | Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für |
| * Punktladungen bis zum Monopol entwickelt | | * Punktladungen bis zum Monopol entwickelt |
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| :<math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math> | | :<math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math> |
| sogenannter Monopol ( die Gesamtladung). | | sogenannter Monopol (die Gesamtladung). |
| Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung | | Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung |
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| ab. | | ab. |
| Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper ( | | Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper ( |
| :<math>{{Q}_{0}}=0</math> | | :<math>{{Q}_{0}}=0</math>) |
| ).
| | . |
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| <u>'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q '''</u> bei | | <u>'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q '''</u> bei |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit ! | | Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit! |
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| Für das Potenzial ergibt sich: | | Für das Potenzial ergibt sich: |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Elektrische Multipolentwicklung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen
in der Nähe des Ursprungs
- ,
so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von
für
Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für
Also
explizit für unsere Situation:
Wobei
den Winkel zwischen
- und
bezeichnet.
Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für
- und
konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen (Legendre- Polynome):
Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit
in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
ist.
Also:
Insbesondere folgt damit:
und speziell:
Also:
Mit
als 2l- Pol
Die Multipolentwicklung (Entwicklung nach 2l- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r!!
Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen (r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell!
Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für
- Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
- Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
- Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...
sogenannter Monopol (die Gesamtladung).
Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung
l=1:
Mit dem Dipolmoment
Das Dipolpotenzial fällt also
ab.
Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (
- )
.
Beispiel: 2 Punktladungen q, -q bei
Feld des Dipolpotenzials:
Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:
l=2:
Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:
ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:
Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:
Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit!
Für das Potenzial ergibt sich:
Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole: