Generalisierte Koordinaten

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Generalisierte Koordinaten
	Zwangsbedingungen und Zwangskräfte Virtuelle Verrückungen D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit Generalisierte Koordinaten Lagrangegleichungen 2. Art Normalschwingungen	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t$

gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

$\left\{{{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t)\right\}$ nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Ziel:

Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:

$\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$

Anschließend können Bewegungsgleichungen für die $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$ aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$ sind FREI variierbar ! Wegen

${{\vec {r}}_{i}}={{\vec {r}}_{i}}\left({{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right)\quad f=1,2,...3N-\nu$ sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem ${\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}},{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$

Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:

${\bar {r}}={{\bar {r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}}+{{q}_{2}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$

Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:

$\left\{{{q}_{1}},{{q}_{2}}\right\}$ , f=2

Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:

${\begin{aligned}&{\bar {r}}=R(\cos \phi {{\bar {e}}_{1}}+\sin \phi {{\bar {e}}_{2}})\\&q=\phi \\&f=1\\\end{aligned}}$

Virtuelle Verrückungen

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

$\delta {{\bar {r}}_{i}}$ wird ausgedrückt durch $\delta {{q}_{1}},...,\delta qf$

Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:

${{\vec {v}}_{i}}={\frac {d}{dt}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}$

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

$\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{\left\{\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}\right\}\delta q_{j}^{}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{}$

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

${{Q}_{j}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}$

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

${{\vec {X}}_{i}}=-{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}})$

So folgt:

$-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}=-\sum \limits _{i}^{}{{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}}){\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}={{Q}_{j}}$

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !