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| <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|5}}</noinclude> | | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|5}}</noinclude> |
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| Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken: | | Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte {{FB|Kinetische Energie}} auszudrücken: |
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| Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben. | | Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in <math>q_j</math> völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben. |
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| Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird: | | Jedes <math>q_j</math> ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| | {{Def| <math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f</math> heißt '''Lagrange- Gleichungen 2. Art'''|Lagrange- Gleichungen 2. Art}} |
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| '''Lagrange- Gleichungen 2. Art:'''
| | Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art). |
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| Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art). | |
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| Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:
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| <u>'''Spezialfall konservative Kräfte:'''</u>
| | Dies liegt daran, dass nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen {{FB|generalisierte Koordinaten}} definiert werden können: |
| | ==Spezialfall konservative Kräfte== |
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| * die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt | | * die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt |
| * L=T-V ist nur EINE mögliche Form | | * L=T-V ist nur '''eine''' mögliche Form |
| * | | *<math>\begin{align} |
| <math>\begin{align} | |
| & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\ | | & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\ |
| & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\ | | & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| | | * Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine '''homogene''' Bilinearform in |
| * Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in | |
| <math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math> | | <math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math> |
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| Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art: | | ==Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:== |
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| Die Atwoodsche Fallmaschine | | MISSING |
| | {{Beispiel| |
| | '''Die Atwoodsche Fallmaschine''' |
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| Generalisierte Koordinate: q | | Generalisierte Koordinate: q |
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| & \\ | | & \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| | | }} |
| | | {{Beispiel| |
| <u>'''Beispiel 2:'''</u>
| | '''Beispiel 2:''' |
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| Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung). | | Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung). |
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| Generalisierte Koordinate q ist der Winkel | | '''Generalisierte Koordinate''' q ist der Winkel |
| <math>\phi </math> | | <math>\phi </math> |
| : | | : |
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| Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden: | | Somit haben wir eine '''Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit''' gefunden: |
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| Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert: | | Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert: |
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| Drehimpuls: | | '''Drehimpuls''': |
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| Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !) | | Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)}} |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:
Linke Seite:
Mit
und
Beweis für die letzte Deduktion:
Somit ergibt sich für die linke Seite
Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie auszudrücken:
Somit folgt:
Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.
Jedes ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:
heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art
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Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).
Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:
Spezialfall konservative Kräfte
Dies bedingt jedoch:
Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:
Es folgt:
Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !
Anmerkung:
- die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
- L=T-V ist nur eine mögliche Form
- Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine homogene Bilinearform in
Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:
MISSING
Die Atwoodsche Fallmaschine
Generalisierte Koordinate: q
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Beispiel 2:
Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).
Generalisierte Koordinate q ist der Winkel
Dahin kommt man im Übrigen aus:
Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:
Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:
Drehimpuls:
Durch Integration gewinnt man:
Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)
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