Lagrangegleichungen 2. Art

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Lagrangegleichungen 2. Art
	Zwangsbedingungen und Zwangskräfte Virtuelle Verrückungen D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit Generalisierte Koordinaten Lagrangegleichungen 2. Art Normalschwingungen	Das Hamiltonsche Prinzip Das d'Alembertsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}$

Linke Seite:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{}\left(\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}}\right)\delta {{q}_{j}}=\sum \limits _{j}{}\sum \limits _{i}^{}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}_{}}$

Mit

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

und

${{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}$

Beweis für die letzte Deduktion:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\&{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left\{\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right\}=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\\end{aligned}}$

Somit ergibt sich für die linke Seite

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i,j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}}$

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie auszudrücken:

$T=\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}}$

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

$\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}=\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right)-\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)\right\}$

${\begin{aligned}&\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}\right\}\delta {{q}_{j}}=0}\\\end{aligned}}$

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in $q_{j}$ völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes $q_{j}$ ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}}\\\end{aligned}}$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f$ heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte

${\begin{aligned}&-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}\\&V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{\vec {r}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{\vec {r}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t))\\\end{aligned}}$

Dies bedingt jedoch:

${\frac {\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

$L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=T-V$

Es folgt:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0$

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !

Anmerkung:

• die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
• L=T-V ist nur eine mögliche Form
• ${\begin{aligned}&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial t}}}\right)}^{2}}}\\&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=a+\sum \limits _{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}}+\sum \limits _{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{\dot {q}}_{k}}{{\dot {q}}_{l}}}\\\end{aligned}}$
• Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine homogene Bilinearform in

${{\dot {q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)$

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

MISSING

Die Atwoodsche Fallmaschine Generalisierte Koordinate: q ${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}({{m}_{{1}_{}}}+{{m}_{2}}){{\dot {q}}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g\\&{\frac {\partial L}{\partial q}}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g\\&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\dot {q}}\\&({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\ddot {q}}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0\\&\\\end{aligned}}$

Beispiel 2: Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung). Generalisierte Koordinate q ist der Winkel $\phi$ ${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)=0\\&L={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\\end{aligned}}$ Dahin kommt man im Übrigen aus: ${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}})\\&x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\&{\dot {x}}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct){\dot {\phi }}\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct){\dot {q}}\sin q\\&y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\dot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\ddot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}-2cm{\dot {q}}({{R}_{o}}^{}-ct)\\&\Rightarrow {\ddot {q}}({{R}_{o}}-ct)=2c{{\dot {q}}^{}}\\\end{aligned}}$ Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden: ${\begin{aligned}&{\frac {\dot {\omega }}{\omega }}={\frac {2c}{{{R}_{o}}-ct}}\\&\int {{\frac {d\omega }{\omega }}=2c\int {\frac {dt}{{{R}_{o}}-ct}}}\\&\ln \omega =-2\ln({{R}_{o}}-ct)+const\\&\ln \omega =\ln {\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\&\omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\\end{aligned}}$ Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert: Drehimpuls: ${\begin{aligned}&{\vec {L}}=m{\vec {v}}\times {\vec {r}}\\&{{\vec {L}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}}\\&andererseits:\\&{{\omega }_{o}}={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}})}^{2}}}\\&\Rightarrow \omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con{\tilde {s}}={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m}}\\&\omega ={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}$ Durch Integration gewinnt man: $q={{q}_{o}}+{\frac {{\vec {L}}_{o}}{cm({{R}_{o}}-ct)}}$ Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)