Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD .
Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:
∑
i
m
i
r
¯
¨
i
δ
r
¯
i
=
∑
i
X
→
i
δ
r
¯
i
=
∑
j
Q
j
δ
q
j
{\displaystyle \sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}}
Linke Seite:
∑
i
m
i
r
¯
¨
i
δ
r
¯
i
=
∑
j
(
∑
i
m
i
r
¯
¨
i
∂
∂
q
j
r
¯
i
)
δ
q
j
=
∑
j
∑
i
{
d
d
t
(
m
i
r
→
˙
i
∂
∂
q
j
r
¯
i
)
−
m
i
r
→
˙
i
d
d
t
(
∂
∂
q
j
r
¯
i
)
}
δ
q
j
{\displaystyle \sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{}\left(\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}}\right)\delta {{q}_{j}}=\sum \limits _{j}{}\sum \limits _{i}^{}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}_{}}}
Mit
∂
∂
q
˙
j
v
→
i
=
∂
∂
q
˙
j
[
∑
j
=
1
f
(
∂
r
¯
i
∂
q
j
q
˙
j
)
+
∂
∂
t
r
¯
i
]
=
∂
∂
q
j
r
¯
i
(
q
1
,
.
.
.
,
q
f
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}
und
r
¯
˙
i
=
∑
j
=
1
f
(
∂
r
¯
i
∂
q
j
)
q
˙
j
+
∂
∂
t
r
¯
i
=
∑
j
=
1
f
(
∂
∂
q
˙
j
v
→
i
)
q
˙
j
+
∂
∂
t
r
¯
i
⇒
d
d
t
(
∂
r
¯
i
∂
q
j
)
=
∂
∂
q
j
v
→
i
{\displaystyle {{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}}
Beweis für die letzte Deduktion:
d
d
t
(
∂
r
¯
i
∂
q
j
)
=
∑
k
=
1
(
∂
2
r
¯
i
∂
q
k
∂
q
j
)
q
˙
k
+
∂
2
∂
q
j
∂
t
r
¯
i
∂
∂
q
j
v
→
i
=
∂
∂
q
j
{
∑
k
=
1
(
∂
r
¯
i
∂
q
k
)
q
˙
k
+
∂
∂
t
r
¯
i
}
=
∑
k
=
1
(
∂
2
r
¯
i
∂
q
k
∂
q
j
)
q
˙
k
+
∂
2
∂
q
j
∂
t
r
¯
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\&{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left\{\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right\}=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\\end{aligned}}}
Somit ergibt sich für die linke Seite
∑
i
m
i
r
¯
¨
i
δ
r
¯
i
=
∑
i
,
j
{
d
d
t
(
m
i
v
→
i
∂
∂
q
˙
j
v
→
i
)
−
m
i
v
→
i
(
∂
∂
q
j
v
→
i
)
}
δ
q
j
{\displaystyle \sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i,j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}}}
Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie auszudrücken:
T
=
∑
i
1
2
m
i
v
→
i
2
{\displaystyle T=\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}}}
m
i
v
→
i
∂
∂
q
˙
j
v
→
i
=
∂
∂
q
˙
j
(
1
2
m
i
v
→
i
2
)
m
i
v
→
i
∂
∂
q
j
v
→
i
=
∂
∂
q
j
(
1
2
m
i
v
→
i
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\\end{aligned}}}
Somit folgt:
{
d
d
t
(
m
i
v
→
i
∂
∂
q
˙
j
v
→
i
)
−
m
i
v
→
i
(
∂
∂
q
j
v
→
i
)
}
=
{
d
d
t
(
∂
∂
q
˙
j
T
)
−
(
∂
∂
q
j
T
)
}
{\displaystyle \left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}=\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right)-\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)\right\}}
∑
i
m
i
r
¯
¨
i
δ
r
¯
i
=
∑
i
X
→
i
δ
r
¯
i
=
∑
j
Q
j
δ
q
j
⇒
∑
j
{
d
d
t
(
∂
∂
q
˙
j
T
)
−
(
∂
∂
q
j
T
)
−
Q
j
}
δ
q
j
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}\right\}\delta {{q}_{j}}=0}\\\end{aligned}}}
Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in
q
j
{\displaystyle q_{j}}
völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.
Jedes
q
j
{\displaystyle q_{j}}
ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:
d
d
t
(
∂
∂
q
˙
j
T
)
−
(
∂
∂
q
j
T
)
−
Q
j
=
0
⇒
d
d
t
(
∂
∂
q
˙
k
T
)
−
(
∂
∂
q
k
T
)
=
Q
k
k
=
1
,
.
.
.
.
,
f
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}}\\\end{aligned}}}
d
d
t
(
∂
∂
q
˙
k
T
)
−
(
∂
∂
q
k
T
)
=
Q
k
k
=
1
,
.
.
.
.
,
f
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f}
heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art
Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).
Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:
Spezialfall konservative Kräfte
−
∂
V
∂
q
j
=
Q
j
V
(
q
1
,
.
.
.
,
q
f
,
t
)
=
V
(
r
→
1
(
q
1
,
.
.
.
,
q
f
,
t
)
,
.
.
.
,
r
→
N
(
q
1
,
.
.
.
,
q
f
,
t
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}\\&V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{\vec {r}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{\vec {r}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t))\\\end{aligned}}}
Dies bedingt jedoch:
∂
V
(
q
1
,
.
.
.
,
q
f
,
t
)
∂
q
˙
k
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0}
Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:
L
(
q
1
,
.
.
.
,
q
f
,
q
˙
1
,
.
.
.
,
q
˙
f
,
t
)
=
L
(
q
k
,
q
˙
k
,
t
)
=
T
−
V
{\displaystyle L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=T-V}
Es folgt:
d
d
t
(
∂
L
∂
q
˙
k
)
−
∂
L
∂
q
k
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0}
Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !
Anmerkung:
die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
L=T-V ist nur eine mögliche Form
T
(
q
k
,
q
˙
k
,
t
)
=
1
2
∑
i
=
1
N
m
i
(
∑
k
=
1
f
∂
r
→
i
∂
q
k
q
˙
k
+
∂
r
→
i
∂
t
)
2
T
(
q
k
,
q
˙
k
,
t
)
=
a
+
∑
k
=
1
f
b
k
q
˙
k
+
∑
k
,
l
=
1
f
c
k
l
q
˙
k
q
˙
l
{\displaystyle {\begin{aligned}&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial t}}}\right)}^{2}}}\\&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=a+\sum \limits _{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}}+\sum \limits _{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{\dot {q}}_{k}}{{\dot {q}}_{l}}}\\\end{aligned}}}
Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine homogene Bilinearform in
q
˙
k
(
a
=
b
k
=
0
)
{\displaystyle {{\dot {q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)}
Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:
MISSING
Die Atwoodsche Fallmaschine
Generalisierte Koordinate: q
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
1
2
(
m
1
+
m
2
)
q
˙
2
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
m
1
g
q
+
m
2
(
l
−
q
)
g
∂
L
∂
q
=
m
1
g
−
m
2
g
∂
L
∂
q
˙
=
(
m
1
+
m
2
)
q
˙
(
m
1
+
m
2
)
q
¨
+
m
1
g
−
m
2
g
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}({{m}_{{1}_{}}}+{{m}_{2}}){{\dot {q}}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g\\&{\frac {\partial L}{\partial q}}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g\\&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\dot {q}}\\&({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\ddot {q}}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0\\&\\\end{aligned}}}
Beispiel 2:
Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).
Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).
Generalisierte Koordinate q ist der Winkel
ϕ
{\displaystyle \phi }
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
1
2
m
c
2
+
1
2
m
q
˙
2
(
R
o
−
c
t
)
2
V
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
0
L
=
1
2
m
c
2
+
1
2
m
q
˙
2
(
R
o
−
c
t
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)=0\\&L={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\\end{aligned}}}
Dahin kommt man im Übrigen aus:
T
=
1
2
m
(
x
˙
2
+
y
˙
2
)
x
=
(
R
o
−
c
t
)
cos
ϕ
x
˙
=
−
c
cos
ϕ
−
(
R
o
−
c
t
)
ϕ
˙
sin
ϕ
=
−
c
cos
q
−
(
R
o
−
c
t
)
q
˙
sin
q
y
=
(
R
o
−
c
t
)
sin
ϕ
{\displaystyle {\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}})\\&x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\&{\dot {x}}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct){\dot {\phi }}\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct){\dot {q}}\sin q\\&y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\\end{aligned}}}
∂
L
∂
q
˙
=
m
q
˙
(
R
o
−
c
t
)
2
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
=
m
q
¨
(
R
o
−
c
t
)
2
−
2
c
m
q
˙
(
R
o
−
c
t
)
⇒
q
¨
(
R
o
−
c
t
)
=
2
c
q
˙
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\dot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\ddot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}-2cm{\dot {q}}({{R}_{o}}^{}-ct)\\&\Rightarrow {\ddot {q}}({{R}_{o}}-ct)=2c{{\dot {q}}^{}}\\\end{aligned}}}
Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:
ω
˙
ω
=
2
c
R
o
−
c
t
∫
d
ω
ω
=
2
c
∫
d
t
R
o
−
c
t
ln
ω
=
−
2
ln
(
R
o
−
c
t
)
+
c
o
n
s
t
ln
ω
=
ln
c
o
n
s
~
(
R
o
−
c
t
)
2
ω
=
c
o
n
s
~
(
R
o
−
c
t
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\dot {\omega }}{\omega }}={\frac {2c}{{{R}_{o}}-ct}}\\&\int {{\frac {d\omega }{\omega }}=2c\int {\frac {dt}{{{R}_{o}}-ct}}}\\&\ln \omega =-2\ln({{R}_{o}}-ct)+const\\&\ln \omega =\ln {\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\&\omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\\end{aligned}}}
Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:
Drehimpuls :
L
→
=
m
v
→
×
r
→
L
→
o
=
m
ω
o
R
o
2
v
o
=
ω
o
R
o
r
o
=
R
o
a
n
d
e
r
e
r
s
e
i
t
s
:
ω
o
=
c
o
n
s
~
(
R
o
)
2
⇒
ω
=
c
o
n
s
~
(
R
o
−
c
t
)
2
⇒
c
o
n
s
~
=
L
→
o
m
ω
=
L
→
o
m
(
R
o
−
c
t
)
2
=
q
˙
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {L}}=m{\vec {v}}\times {\vec {r}}\\&{{\vec {L}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}}\\&andererseits:\\&{{\omega }_{o}}={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}})}^{2}}}\\&\Rightarrow \omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con{\tilde {s}}={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m}}\\&\omega ={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}}
Durch Integration gewinnt man:
q
=
q
o
+
L
→
o
c
m
(
R
o
−
c
t
)
{\displaystyle q={{q}_{o}}+{\frac {{\vec {L}}_{o}}{cm({{R}_{o}}-ct)}}}
Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)