Multipolstrahlung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Multipolstrahlung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Multipolstrahlung	Elektromagnetische Wellen	Elektrodynamik Schöll
	Freie Wellenausbreitung im Vakuum Retardierte Potenziale Multipolstrahlung Wellenoptik und Beugung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Ziel:

Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.

Voraussetzung: Lorentz- Eichung

${\dot {\Phi }}\left({\bar {r}},t\right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0$

Somit kann aus ${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ dann $\Phi \left({\bar {r}},t\right)$ und somit auch ${\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)$

${\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)$ berechnet werden.

1. Näherung:

r>>a ( Ausdehnung der Quelle)

Mit

${\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}={\frac {1}{r}}+{\frac {1}{{r}^{3}}}\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)+...$

folgt:

${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi r}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$

Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !

1. Näherung

${\begin{aligned}&t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\approx t-{\frac {r}{c}}+{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}+....\\&t-{\frac {r}{c}}:=\tau \\\end{aligned}}$

Diese Näherung sollte gut sein, falls $\tau >>{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}\approx {\frac {a}{c}}$

Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !

a~ Ausdehnung der Quelle

$\tau$ ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von ${\bar {j}}$

Beispielsweise: harmonische Erregung:

${\begin{aligned}&{\bar {j}}{\tilde {\ }}{{e}^{i\omega t}}\\&\omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau ={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {2\pi }{ck}}={\frac {\lambda }{c}}\\&\Rightarrow a<<\lambda \\\end{aligned}}$

Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !

Dann gilt:

${\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\approx {\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {r}{c}}\right)+{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}{\frac {\partial {\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {r}{c}}\right)}{\partial \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}}={\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)+{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}{\frac {\partial \ {\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)}{\partial \tau }}$

Also folgt für das Vektorpotenzial:

Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:

$\nabla \cdot {\bar {j}}\neq 0$

Mit:

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)={{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)+{{j}_{k}}$

mit der Kontinuitäätsgleichung:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=-{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\&\Rightarrow {{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\\end{aligned}}$

und wegen

$\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)=0$ (Gauß)

folgt dann:

${\begin{aligned}&\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)=0=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left({{j}_{k}}-{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)\\&\Rightarrow \int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=:{\dot {\bar {p}}}\left(\tau \right)}\\\end{aligned}}$

mit dem elektrischen Dipolmoment:

${\bar {p}}\left(\tau \right)=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)$

Somit für die erste Ordnung:

${{\bar {A}}^{(1)}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

Elektrische Dipolstrahlung

Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)

${\bar {p}}\left(t\right)={\bar {p}}\left({{t}_{0}}\right){{e}^{-i\omega t}}$

${\bar {p}}$

${\begin{aligned}&{{\bar {A}}^{(1)}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {-i\omega {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}}{4\pi }}{\frac {{\bar {p}}\left({{t}_{0}}\right){{e}^{-i\omega \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}}}{r}}={\frac {-i\omega {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}}{4\pi }}{\frac {{\bar {p}}\left({{t}_{0}}\right){{e}^{i\left(kr-\omega t\right)}}}{r}}\\&k:={\frac {\omega }{c}}\\\end{aligned}}$

Die Kugelwelle !

Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:

${\begin{aligned}&{\dot {\Phi }}\left({\bar {r}},t\right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\nabla \left[{\frac {1}{r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\nabla \left[{\frac {1}{r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]+{{\Phi }_{stat.}}\left({\bar {r}}\right)\\&{{\Phi }_{stat.}}\left({\bar {r}}\right)=0(obda)\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\nabla \left[{\frac {1}{r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left[{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\\&{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right){\tilde {\ }}{\frac {1}{r}}\\&{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right){\tilde {\ }}{\frac {1}{{r}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Grenzfälle:

1) Fernzone / Wellenzone:

${\begin{aligned}&r>>\lambda >>\left(a\right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow {\frac {\omega }{c}}r>>1\\&\Rightarrow {\frac {1}{c}}{\dot {\bar {p}}}{\tilde {\ }}{\frac {\omega }{c}}{\bar {p}}>>{\frac {\bar {p}}{r}}\\\end{aligned}}$

In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!

Es gilt die Näherung

$\Phi {{\left({\bar {r}},t\right)}_{fern}}\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):

${\begin{aligned}&\lambda >>r>>>\left(a\right)\\&\Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow {\frac {\omega }{c}}r<<11\\&\Rightarrow {\frac {1}{c}}{\dot {\bar {p}}}{\tilde {\ }}{\frac {\omega }{c}}{\bar {p}}<<{\frac {\bar {p}}{r}}\\\end{aligned}}$

Also:

$\Phi \left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

Dies kann man noch entwickeln nach

${\bar {p}}\left(t\right)$ . dadurch entstehen Terme:

${\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t\right)-{\frac {1}{{r}^{3}}}{\frac {r}{c}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t\right)$

Diese kompensieren sich gegenseitig. Also: Die Retardierung kompensiert den ${\dot {\bar {p}}}\left(t\right)$ - Term.

Wir schreiben:

$\Phi \left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t\right)$

in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung

$\Phi {{\left({\bar {r}},t\right)}_{fern}}\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

${\begin{aligned}&{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi }}\nabla \times {\frac {1}{r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)={\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi c}}{\frac {1}{{r}^{2}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]+O\left({\frac {1}{{r}^{2}}}\right)\\&{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\dot {\bar {A}}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}}{\frac {1}{{r}^{3}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]\times {\bar {r}}+O\left({\frac {1}{{r}^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

Es gilt:

${\begin{aligned}&{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)\times {\frac {\bar {r}}{r}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi c}}{\frac {1}{{r}^{3}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]\times {\bar {r}}={\frac {1}{c}}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi c}}={\frac {{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}}={\frac {1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}}}\\\end{aligned}}$

F Fazit:

${\bar {r}},{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right),{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)$

bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander ! Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!

Nebenbemerkung: In der Nahzone gilt immer noch wegen $\nabla \cdot {\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=0$ , dass r und B senkrecht stehen.

Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).

Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)

${\begin{aligned}&{\bar {S}}={\bar {E}}\times {\bar {H}}={\frac {-1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\times {\bar {E}}={\frac {-c}{{{\mu }_{0}}r}}{\bar {B}}\times \left({\bar {B}}\times {\bar {r}}\right)={\frac {-c}{{{\mu }_{0}}r}}\left[\left({\bar {B}}\cdot {\bar {r}}\right){\bar {B}}-{{B}^{2}}{\bar {r}}\right]\\&\left({\bar {B}}\cdot {\bar {r}}\right)=0\\&\Rightarrow {\bar {S}}={\frac {c}{{{\mu }_{0}}r}}{{B}^{2}}{\bar {r}}\\\end{aligned}}$

${\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi }}\nabla \times {\frac {1}{r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)={\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi c}}{\frac {1}{{r}^{2}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]+O\left({\frac {1}{{r}^{2}}}\right)$

Also:

entspricht

$l=1,m=0$

Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:

${\begin{aligned}&{\bar {p}}(t)={{\bar {p}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}\\&{{\left|{\ddot {\bar {p}}}\right|}^{2}}={{\bar {p}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}}\\\end{aligned}}$

Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt ! Nebenbemerkung: Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne

Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung

Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von ${\bar {A}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$ (mit der Coulomb- Eichung $\nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=0$ )

mit den Randbedingungen ${\bar {A}}({\bar {r}})\to 0$ für r-> unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:

Taylorentwicklung nach ${\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$ von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung ${\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})$ sei stationär für $r>>r{\acute {\ }}$

${\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}={\frac {1}{r}}+{\frac {1}{{r}^{3}}}\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)+...$

${\bar {A}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi r}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)+...$

Monopol- Term

Mit

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]={{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right)+{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\cdot \left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{{x}_{k}}{\acute {\ }}\right)$

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})=0$

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]={\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\cdot \left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{{x}_{k}}{\acute {\ }}\right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}$

Mit ${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]={{j}_{k}}$ folgt dann:

$\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{j}_{k}}({\bar {r}}{\acute {\ }})=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]=\oint \limits _{S\infty }{d{\bar {f}}}\left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]=0$

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Also: Falls

${\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )$ quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )=-{\frac {\partial }{\partial \tau }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )=0\\&\Rightarrow {\dot {\bar {p}}}(\tau )=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}=0\\&\Rightarrow {{A}^{(1)}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi r}}{\dot {\bar {p}}}(\tau )\equiv 0\\\end{aligned}}$

Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)

Beispiel: geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):

Mit

$I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}$

2. Ordnung:

${{\bar {A}}^{(2)}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\left(1+{\frac {r}{c}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right){\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )}$

Mit

${\begin{aligned}&\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)={\frac {1}{2}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}\times {\bar {j}}\right)\times {\bar {r}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\bar {j}}+\left({\bar {r}}{\bar {j}}\right){\bar {r}}{\acute {\ }}\right]\\&und\\&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\bar {j}}\right]=\left[\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}}{\bar {j}}\right)+{{x}_{k{\acute {\ }}}}\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}\right]\\&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}=-{\frac {\partial }{\partial \tau }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\\end{aligned}}$

Kontinuitätsgleichung Dann folgt integriert:

Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):

${\bar {\bar {Q}}}\left(\tau \right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)}\left(3{\bar {r}}{\acute {\ }}\otimes {\bar {r}}{\acute {\ }}-r{{\acute {\ }}^{2}}{\bar {\bar {1}}}\right)=:{\tilde {\bar {\bar {Q}}}}-{\frac {1}{3}}\left(tr\left({\tilde {\bar {\bar {Q}}}}\right)\right){\bar {\bar {1}}}$

Falls

${\tilde {Q}}\left(\tau \right)$ oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt

${\frac {1}{3}}\left(tr\left({\tilde {\bar {\bar {Q}}}}\right)\right){\bar {\bar {1}}}$

keinen Beitrag zu

${\bar {E}},{\bar {B}}$

• verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen

-> ${\bar {\bar {Q}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}=3\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)}{\bar {r}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {\bar {r}}\right)$

Also:

${\begin{aligned}&{{\bar {A}}^{(2)}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\left(1+{\frac {r}{c}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\left[{\bar {m}}\left(\tau \right)\times {\bar {r}}+{\frac {1}{6}}{\dot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}\right]\\&={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\left({\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {m}}\times {\bar {r}}+{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\dot {\bar {m}}}\times {\bar {r}}+{\frac {1}{6{{r}^{3}}}}{\dot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}+{\frac {1}{6c{{r}^{2}}}}{\ddot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}\right)\\\end{aligned}}$

Mit der magnetischen Dipolstrahlung

${\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {m}}\times {\bar {r}}+{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\dot {\bar {m}}}\times {\bar {r}}$

und elektrischer Quadrupolstrahlung

${\frac {1}{6{{r}^{3}}}}{\dot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}+{\frac {1}{6c{{r}^{2}}}}{\ddot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}$

Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe

$\nabla \times {\frac {1}{r}}{\bar {m}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)={\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {m}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}+{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\dot {\bar {m}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}$

schreiben als:

Die magnetische Dipolstrahlung

Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }}\nabla \cdot \left(\nabla \times {\frac {1}{r}}{\bar {m}}\right)\equiv 0\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}}\right)=!=0\\\end{aligned}}$

O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:

das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung

Nebenbemerkung

Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung ${\frac {q}{m}}$

ist

${\bar {p}}{\tilde {\ }}{\bar {R}}$ (Schwerpunkt) und

${\bar {m}}{\tilde {\ }}{\bar {L}}$ ( Gesamtdrehimpuls)

$\Rightarrow {\dot {\bar {p}}}={\dot {\bar {m}}}=0$

In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich

vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung