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| <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|3}}</noinclude> | | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|3}}</noinclude> |
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| =Poisson- Gleichung und Greensche Funktion=
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| :<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math> in <math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | | :<math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math> in <math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> |
| liefert: | | liefert: |
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| :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| | {{Gln|<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> |
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| | Dies ist nicht anderes als die berühmte '''Poisson-Gleichung'''|Poission-Gleichung}} |
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| Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung
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| Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung. | | Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung. |
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| '''Entweder:''' | | '''Entweder:''' |
| 1) | | 1) <math>\Phi (\bar{r})\to 0</math> hinreichend rasch für <math>r\to \infty </math> |
| :<math>\Phi (\bar{r})\to 0</math>
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| hinreichend rasch für | |
| :<math>r\to \infty </math>
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| oder | | oder |
| 2) | | |
| :<math>\Phi (\bar{r})</math>
| | 2) <math>\Phi (\bar{r})</math> sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen |
| sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen | |
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| '''Lösung zu 1):''' | | '''Lösung zu 1):''' |
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| falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird. | | falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird. |
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| Man definiere für ein festes | | Man definiere für ein festes <math>\bar{r}\acute{\ }</math>, dass |
| :<math>\bar{r}\acute{\ }</math>,
| |
| dass
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\ | | & \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\ |
| & {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\ | | & {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| :
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| Also: | | Also: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Dies ist aber ein Widerspruch zu | | Dies ist aber ein Widerspruch zu <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> |
| :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| Grund ist, dass die Vertauschung von | | Grund ist, dass die Vertauschung von |
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| Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist! | | Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist! |
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| <u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u>
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| | == Greensche Funktion der Poisson- Gleichung == |
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| :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math> | | :<math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math> |
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| :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math> | | :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math> |
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| Mit dem Greenschen Operator | | Mit dem {{FB|Greenschen Operator}} <math>\hat{G}</math>: |
| :<math>\hat{G}</math>
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| Eine Fourier- Transformation von | | Eine Fourier- Transformation von |
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| Die einfache Fourier- Transformierte Form von | | Die einfache Fourier- Transformierte Form von |
| :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>, | | :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>, |
| nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann. | | nur dass der Fourier- transformierte {{FB|Greens-Operator}} angegeben werden kann. |
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| Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung: | | Die Rücktransformation löst dann die {{FB|Poisson-Gleichung}}: |
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| :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math> | | :<math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math> |
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| Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an | | Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an |
| :<math>\bar{r}\acute{\ }</math> | | :<math>\bar{r}\acute{\ }</math> |
| :
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| Insbesondere bei speziellen Randbedingungen | | Insbesondere bei speziellen {{FB|Randbedingungen}} |
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| :<math>\begin{matrix} | | :<math>\begin{matrix} |
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| \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math> | | \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math> |
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| ist die Greensfunktion dann: | | ist die {{FB|Greensfunktion}} dann: |
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| :<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> | | :<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> |
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| :<math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> | | :<math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> |
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| Für eine beliebige Ladungsverteilung | | Für eine beliebige {{FB|Ladungsverteilung}} <math>\rho </math> ist also die Lösung der Poissongleichung |
| :<math>\rho </math>
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| ist also die Lösung der Poissongleichung | |
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| :<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math> | | :<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math> |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
- in
liefert:
Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson-Gleichung
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Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:
Entweder:
1) hinreichend rasch für
oder
2) sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
Lösung zu 1):
für hinreichend rasch abfallendes
Einsetzen in Poisson- Gleichung:
- ,
falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
Man definiere für ein festes , dass
Also:
Dies ist aber ein Widerspruch zu
Grund ist, dass die Vertauschung von
- und
sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
- ,
also s=0 (Singularität!!)
Stattdessen für beliebige V:
Nun kann man
- mit
vertauschen.
Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
nach der Vertauschung stetig ist!:
Somit:
aber:
- ,
falls
- falls
Somit:
Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!
Greensche Funktion der Poisson- Gleichung
Invertierung
Mit dem Greenschen Operator :
Eine Fourier- Transformation von
- liefert
Man kann schreiben:
Die einfache Fourier- Transformierte Form von
- ,
nur dass der Fourier- transformierte Greens-Operator angegeben werden kann.
Die Rücktransformation löst dann die Poisson-Gleichung:
Es gilt:
Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
Insbesondere bei speziellen Randbedingungen
ist die Greensfunktion dann:
Denn
Für eine beliebige Ladungsverteilung ist also die Lösung der Poissongleichung
wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.