Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Poisson- Gleichung und Greensche Funktion
- in
liefert:
Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung
Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:
Entweder:
1)
hinreichend rasch für
oder
2)
sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
Lösung zu 1):
für hinreichend rasch abfallendes
Einsetzen in Poisson- Gleichung:
- ,
falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
Man definiere für ein festes
- ,
dass
Also:
Dies ist aber ein Widerspruch zu
Grund ist, dass die Vertauschung von
- und
sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
- ,
also s=0 (Singularität!!)
Stattdessen für beliebige V:
Nun kann man
- mit
vertauschen.
Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
nach der Vertauschung stetig ist!:
Somit:
aber:
- ,
falls
- falls
Somit:
Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!
Greensche Funktion der Poisson- Gleichung
Invertierung
Mit dem Greenschen Operator
Eine Fourier- Transformation von
- liefert
Man kann schreiben:
Die einfache Fourier- Transformierte Form von
- ,
nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.
Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:
Es gilt:
Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
Insbesondere bei speziellen Randbedingungen
ist die Greensfunktion dann:
Denn
Für eine beliebige Ladungsverteilung
ist also die Lösung der Poissongleichung
wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.