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| ==Mikrozustände:== | | ==Mikrozustände:== |
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| Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> -> quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum) | | Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> → quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum) |
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| :<math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math> | | :<math>\left| \Psi \right\rangle \in H</math> |
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| Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren): | | Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren): |
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| --> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
| | → quantenmechanische Observablen ( Hermitesch): |
| :<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht ! | | :<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht ! |
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| Basis der Mikrozustände : | | Basis der Mikrozustände : |
| :<math>\left| \alpha \right\rangle </math> | | :<math>\left| \alpha \right\rangle </math> |
| -> sample set der Zufallsereignisse
| | → sample set der Zufallsereignisse |
| :<math>{{P}_{\alpha }}</math> | | :<math>{{P}_{\alpha }}</math> |
| Wahrscheinlichkeitsverteilung | | Wahrscheinlichkeitsverteilung |
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| Bemerkung: | | Bemerkung: |
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| '''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: | | '''Reine Zustände '''→ kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: |
| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \\ | | & \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \\ |
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| * keine quantenmechanischen Interferenzterme ! | | * keine quantenmechanischen Interferenzterme ! |
| * -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden ! | | * → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden ! |
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| '''Normierung '''des statistischen Operators: | | '''Normierung '''des statistischen Operators: |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum mit → quantenmechanischer Zustandsraum ( Hilbertraum)
Basis (vollständiges ONS): mit
- Orthonormierung und Vollständigkeit
- Entwicklung
- Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M: ( Ms kommutieren):
→ quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
- kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen
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Klassische Messwerte:
- als Eigenwerte im Eigenzustand
Spektraldarstellung:
denn:
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
reine Zustände
- heißt reiner Zustand (Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat im Zustand (Maximalmessung):
Erwartungswert von im Zustand :
Falls Eigenbasis zu :
Schreibweise mit Projektor auf Zustand :
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
→ sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix
):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände → kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
- es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls
- nicht diagonal in
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung:
Die müssen nicht miteinander kommutieren, aber damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
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Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)