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| <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude> | | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude> |
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| '''Stern- Gerlach Experiment: 1922:'''
| | {{FB|Stern-Gerlach Experiment}}: (1922) |
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| [[Datei:Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]] | | [[Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]] |
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| Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math> | | Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math> |
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| Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß | | Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß |
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| Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !! | | Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !! |
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| :<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math> | | :<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math> |
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| Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons ! | | Eigendrehimpuls ({{FB|Spin}}) des Elektrons ! |
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| :<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | | :<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> |
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| :<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | | :<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> |
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| mit g=2,0023 ,g sogenannter Lande´- Faktor (gyromagnetischer Faktor) | | mit g=2,0023 g sogenannter {{FB|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor) |
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| Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! | | Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! |
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| ====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | | ====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== |
| Spin- Eigenzustände: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> | | {{FB|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> |
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| Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !) | | {{FB|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional !) |
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| Notation: | | Notation: |
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| ;Spin down:<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | | ;Spin down:<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> |
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| Dimensionsloser Spinoperator | | Dimensionsloser Spinoperator <math>\hat \bar \sigma</math> |
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| Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände: | | Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ | | & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| <math>{{\hat{S}}_{3}}</math> | | <math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch |
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| ist hermitesch | |
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| Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | | Eigenwerte: <math>\pm 1</math> |
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| Orthonormierung: <math>\begin{align} | | '''Orthonormierung''': <math>\begin{align} |
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| & \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ | | & \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Vollständigkeit: <math>\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1</math> | | '''Vollständigkeit''': <math>\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1</math> |
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| Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als | | Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle \\ | | & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle \\ |
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| :<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math> | | :<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math> |
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| (ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation) | | (ganz allgemeine {{FB|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}}) |
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| (Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) | | (Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) |
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| folgt: | | folgt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ | | & \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ | | & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Spin- leiteroperatoren:; | | {{FB|Spin-Leiteroperatoren}}: |
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| & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ | | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ |
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| Somit folgt: | | Somit folgt: |
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| & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ | | & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| Andererseits gilt: | | Andererseits gilt: |
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| & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ | | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| == Zusammenfassung ==
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| <math>\left| \uparrow \right\rangle </math>
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| <math>\left| \downarrow \right\rangle </math>
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| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math>
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| <math>\left| \downarrow \right\rangle </math>
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| <math>\left| \uparrow \right\rangle </math>
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| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math>
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| <math>i\left| \downarrow \right\rangle </math>
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| <math>-i\left| \uparrow \right\rangle </math>
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| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
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| <math>\left| \uparrow \right\rangle </math>
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| <math>\left| \downarrow \right\rangle </math>
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| | {| class="wikitable" border="1" |
| | |+ Zusammenfassung |
| | ! !!<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> !! <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> |
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| | | <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> || <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> || <math>\left| \uparrow \right\rangle </math> |
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| | |<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math>||<math>i\left| \downarrow \right\rangle </math>||<math>-i\left| \uparrow \right\rangle </math> |
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| | |<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>||<math>\left| \uparrow \right\rangle </math>||<math>\left| \downarrow \right\rangle </math> |
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| Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen: | | Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen: |
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| ( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum): | | (Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum): |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | | & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen: | | Die Matrizen lassen sich ausschreiben: {{FB|Paulische Spinmatrizen}}: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | | & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \\ | | & \\ |
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| Was den bekannten Relationen genügt: | | Was den bekannten Relationen genügt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} | | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} |
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| S3- Darstellung der Zustände: | | S3- Darstellung der Zustände: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( \begin{matrix} | | & \left( \begin{matrix} |
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| 1 \\ | | 1 \\ |
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| \end{matrix} \right)</math> | | \end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) |
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| die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) | |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
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| & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | | & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert) |
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| Zeilenvektoren ( transponiert) | |
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| <math>\left( \begin{matrix} | | <math>\left( \begin{matrix} |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Stern-Gerlach Experiment: (1922)
Für das inhomogene Magnetfeld gilt:
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!
Bahndrehimpuls l ergäbe - fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons !
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor (gyromagnetischer Faktor)
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!
Spin als Freiheitsgrad des Elektrons
Spin-Eigenzustände:
Spin-Hilbertraum (zweidimensional !)
Notation:
- Spin up
- Spin down
Dimensionsloser Spinoperator
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
ist hermitesch
Eigenwerte:
Orthonormierung:
Vollständigkeit:
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
Aus:
(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation)
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)
folgt:
Spin-Leiteroperatoren:
Somit folgt:
Andererseits gilt:
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !
Berechnung der Koeffizienten :
Weiter:
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
O.B. d. A.: wähle
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !
So folgt:
Außerdem:
Zusammenfassung
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Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):
Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen:
Was den bekannten Relationen genügt:
erfüllt, .... usw...
S3- Darstellung der Zustände:
Dabei kennzeichnen die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)
Zeilenvektoren ( transponiert)
was äquivalent ist zu