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| Grenzfall eines unendlich großen Systems. | | Grenzfall eines unendlich großen Systems. |
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| Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math> | | Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math> so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math> erfahren ! |
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| so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen | |
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| <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |
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| die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math> | |
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| erfahren ! | |
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| <u>'''Voraussetzung:'''</u> | | <u>'''Voraussetzung:'''</u> |
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| Homogenes Makrosystem, also | | Homogenes Makrosystem, also <math>z:=\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \right)</math> und <math>S(z)</math> sind extensiv: <math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> eine homogene Funktion in allen Variablen! |
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| <math>z:=\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \right)</math> | |
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| und | |
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| <math>S(z)</math> | |
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| sind extensiv: | |
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| <math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> | |
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| eine homogene Funktion in allen Variablen ! | |
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| ====Satz: Die Entropiegrundfunktion====
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| <math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
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| mit
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| <math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math>
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| ( dilatationsinvariant)
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| '''Beweis:'''
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| <math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math>
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| damit: | | {{Satz|Die Entropiegrundfunktion |
| | :<math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> |
| | mit <math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math> (dilatationsinvariant)| |
| | <math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> damit: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \Rightarrow \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\frac{\partial }{\partial \alpha }\left( \alpha S(z) \right)=S(z) \\ | | & \Rightarrow \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\frac{\partial }{\partial \alpha }\left( \alpha S(z) \right)=S(z) \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| * speziell für <math>\alpha =1</math>
| | speziell für <math>\alpha =1</math>: |
| * :
| | :<math>\begin{align} |
| * <math>\begin{align}
| | & \sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =S(z) \\ |
| * & \sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =S(z) \\
| | & \Rightarrow {{g}_{n}}(z):=\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=:{{g}_{n}}(\alpha z) \\ |
| * & \Rightarrow {{g}_{n}}(z):=\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}=:{{g}_{n}}(\alpha z) \\
| | \end{align}</math> |
| * \end{align}</math>
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| | Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!}} |
| Definitionsgleichung der intensiven Variablen !! | |
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| ====Anwendung auf einfache thermische Systeme==== | | ====Anwendung auf einfache thermische Systeme==== |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Thermodynamischer Limes basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Grenzfall eines unendlich großen Systems.
Dabei muss der Grenzprozess so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen die gleiche Koordinatendiletation erfahren !
Voraussetzung:
Homogenes Makrosystem, also und sind extensiv: eine homogene Funktion in allen Variablen!
Satz:
Die Entropiegrundfunktion
mit (dilatationsinvariant)
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Beweis:
damit:
speziell für :
Definitionsgleichung der intensiven Variablen !!
Anwendung auf einfache thermische Systeme
Energiedarstellung:
Satz: Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.
Beweis: Fluktuations - Dissipations- Theorem
relative Schwankung:
Wegen der Homogenität von
gilt:
also
Relative Schwankung für
,
Folgerung
Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen ( mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.