Virtuelle Verrückungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Unter einer virtuellen Verrückung | Unter einer virtuellen Verrückung | ||
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versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit | versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit | ||
<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math> | :<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math> | ||
die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.|virtuelle Verrückung | die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.|virtuelle Verrückung | ||
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Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als | Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als | ||
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im Zeitintervall | im Zeitintervall | ||
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<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | :<math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> bzw <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition | Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition | ||
<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math> | :<math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>. | ||
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Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene: | {{Beispiel| | ||
Als Beispiel betrachten wir die '''Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene''': | |||
<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math> | :<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math> | ||
Dabei ist | Dabei ist | ||
<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math> | :<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math> | ||
der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter. | der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter. | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\ | & f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\ | ||
& df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\ | & df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
}} | |||
also gilt im Allgemeinen: | also gilt im Allgemeinen: | ||
<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | :<math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | ||
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<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | :<math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math> | ||
Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem | Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem | ||
<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math> | :<math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>. | ||
Es gilt: | |||
<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math> | :<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math> |
Aktuelle Version vom 13. September 2010, 00:33 Uhr
Der Artikel Virtuelle Verrückungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Virtuelle Verrückungen | ||
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Unter einer virtuellen Verrückung versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen. |
Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als
im Zeitintervall
längs der Bahn geschieht.
Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.
Es gilt folglich
- bzw
Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition
- .
Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:
der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter. Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:
|
also gilt im Allgemeinen:
aber:
Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem
- .
Es gilt: