Virtuelle Verrückungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Virtuelle Verrückungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Virtuelle Verrückungen
	Zwangsbedingungen und Zwangskräfte Virtuelle Verrückungen D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit Generalisierte Koordinaten Lagrangegleichungen 2. Art Normalschwingungen	Das Hamiltonsche Prinzip Das d'Alembertsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Unter einer virtuellen Verrückung $\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$ versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit $\left\{\delta t=0\right\}$ die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als $d{{\vec {r}}_{i}}$ im Zeitintervall $dt$ längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

$\delta {{f}_{\lambda }}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$ bzw $\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition $\left\{\delta t=0\right\}$ .

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene: ${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$ Dabei ist ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter. Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt: ${\begin{aligned}&f({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot ({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N\\&df({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot (d{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {v}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}\\\end{aligned}}$

also gilt im Allgemeinen:

${\vec {a}}\cdot d{{\vec {r}}_{i}}={\vec {a}}\cdot {{\vec {v}}_{o}}(t)dt\neq 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

aber:

$\delta f={\vec {a}}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ . Es gilt: $\delta {{\vec {r}}_{i}}\bot {\vec {a}}$