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| : <math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math> | | : <math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} | {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} | {{n}_{2}} \right\rangle </math> |
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| Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math> | | Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Sei nun ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
(äquivalente Sprechweise):
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
zerlegt werden:
mit
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
Mit
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
Die Vollständigkeit der Zustände
folgt aus:
Weiter:
Also die Komponenten von am Ort , einmal die Komponente mit Spin und einmal die Komponente mit Spin . Dabei gilt:
entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
mit Spin
bzw. Spin
zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Hamilton- Operator für Bahn:
Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>
Hamilton- Operator für Spin:
wirkt dabei nur im Hilbertraum
Ohne Berücksichtigung von
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Dabei
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
MIT Berücksichtigung von
In Matrix- Darstellung:
Pauli Gleichung
Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
Dabei wird durch der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
Insgesamt fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der - fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt !)
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Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment .
Dabei entspricht vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben!
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen |
s |
g |
Q
|
Elektron |
1/2 |
2 |
-e
|
Proton |
1/2 |
5,59 |
e
|
Neutron |
1/2 |
-3,83 |
0
|
Neutrino |
1/2 |
0 |
0
|
Photon |
1 |
0 |
0
|