|
|
Zeile 92: |
Zeile 92: |
|
| |
|
| Hamilton- Operator für Bahn: | | Hamilton- Operator für Bahn: |
| <math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math> | | :<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math> |
| Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math> | | Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math> |
|
| |
|
| Hamilton- Operator für Spin: | | Hamilton- Operator für Spin: |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ | | & {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ |
| & {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\ | | & {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
|
| |
|
| <math>{{\hat{H}}_{S}}</math> | | :<math>{{\hat{H}}_{S}}</math> |
| wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math> | | wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math> |
|
| |
|
Zeile 108: |
Zeile 108: |
| : | | : |
|
| |
|
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\ | | & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\ |
| & \alpha =1,2 \\ | | & \alpha =1,2 \\ |
Zeile 118: |
Zeile 118: |
|
| |
|
| Es gilt (äquivalente Darstellung): | | Es gilt (äquivalente Darstellung): |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ | | & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ |
| & \alpha =1,2 \\ | | & \alpha =1,2 \\ |
Zeile 124: |
Zeile 124: |
|
| |
|
| Dabei | | Dabei |
| <math>1</math> | | :<math>1</math> |
| = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix} | | = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix} |
| 1 & 0 \\ | | 1 & 0 \\ |
Zeile 134: |
Zeile 134: |
| : | | : |
|
| |
|
| <math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> | | :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> |
|
| |
|
| In Matrix- Darstellung: | | In Matrix- Darstellung: |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \left( \begin{matrix} | | & \left( \begin{matrix} |
|
| |
|
Zeile 176: |
Zeile 176: |
| eine Korrektur an die Energie. | | eine Korrektur an die Energie. |
| '''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin''' | | '''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin''' |
| <math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> | | :<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> |
|
| |
|
| Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung | | Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung |
| <math>B\ne 0</math> | | :<math>B\ne 0</math> |
|
| |
|
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\ | | & \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\ |
| & {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\ | | & {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\ |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
|
Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
|
Sei nun ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
(äquivalente Sprechweise):
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
zerlegt werden:
mit
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
Mit
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
Die Vollständigkeit der Zustände
folgt aus:
Weiter:
Also die Komponenten von am Ort , einmal die Komponente mit Spin und einmal die Komponente mit Spin . Dabei gilt:
entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
mit Spin
bzw. Spin
zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Hamilton- Operator für Bahn:
Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>
Hamilton- Operator für Spin:
wirkt dabei nur im Hilbertraum
Ohne Berücksichtigung von
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Dabei
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
MIT Berücksichtigung von
In Matrix- Darstellung:
Pauli Gleichung
Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
Dabei wird durch der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
Insgesamt fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der - fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt !)
|
Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment .
Dabei entspricht vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben!
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen |
s |
g |
Q
|
Elektron |
1/2 |
2 |
-e
|
Proton |
1/2 |
5,59 |
e
|
Neutron |
1/2 |
-3,83 |
0
|
Neutrino |
1/2 |
0 |
0
|
Photon |
1 |
0 |
0
|