Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Sei nun
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
( äquivalente Sprechweise):
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
zerlegt werden:
mit
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
Mit
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
Die Vollständigkeit der Zustände
folgt aus:
Weiter:
Also die Komponenten von
am Ort
, einmal die Komponente mit Spin
und einmal die Komponente mit Spin
. Dabei gilt:
entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
mit Spin
bzw. Spin
zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Hamilton- Operator für Bahn:
Elektron mit Ladung e<0
Wirkt alleine im Hilbertraum
Hamilton- Operator für Spin:
wirkt dabei nur im Hilbertraum
Ohne Berücksichtigung von
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Dabei
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
MIT Berücksichtigung von
In Matrix- Darstellung:
PAULI- GLEICHUNG
Anwendung
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
Dabei wird durch
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
Insgesamt
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der
- fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
Dabei entspricht
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen s g Q
Elektron 1/2 2 -e
Proton 1/2 5,59 e
Neutron 1/2 -3,83 0
Neutrino 1/2 0 0
Photon 1 0 0