Zustände mit Bahn- und Spinvariablen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Zustände mit Bahn- und Spinvariablen	Spin und Systeme identischer Teilchen
	Spin- Operatoren und Zustände Dynamik des 2- Zustands- Systems Zustände mit Bahn- und Spinvariablen Addition von Drehimpulsen Identische Teilchen: Spin und Statistik	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Sei nun $\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:

${\begin{aligned}&\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle =\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}\\&\left|nlm\right\rangle \in {{H}_{B}}\\&\left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{S}}\\\end{aligned}}$

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.

Allgemein gilt für separable oder Produktzustände $\left|{{n}_{1}}{{n}_{2}}\right\rangle =\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left|{{n}_{2}}\right\rangle$

(äquivalente Sprechweise):

$\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{1}}{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}\right|\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{2}}\right\rangle$

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen $\left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle$

zerlegt werden:

${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\left|\downarrow \right\rangle$

mit

${{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}$

In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand $\alpha =1,2$

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:

${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left({\begin{matrix}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)$

Mit

$\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)$

entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend $\left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle$

Die Vollständigkeit der Zustände $\left|{\bar {r}}\uparrow \right\rangle =\left|{\bar {r}}\right\rangle \left|\uparrow \right\rangle ,\left|{\bar {r}}\downarrow \right\rangle =\left|{\bar {r}}\right\rangle \left|\downarrow \right\rangle$

folgt aus:

$\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\left\{\left|{\bar {r}}\uparrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|+\left|{\bar {r}}\downarrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|\right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}$

Weiter:

${\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}$

Also die Komponenten von ${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$am Ort ${\bar {r}}$, einmal die Komponente mit Spin $\uparrow$ und einmal die Komponente mit Spin $\downarrow$. Dabei gilt:

${\begin{aligned}&{{\left|\left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}\\&{{\left|\left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}\\\end{aligned}}$

entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei ${\bar {r}}$ mit Spin $\uparrow$ bzw. Spin $\downarrow$ zu finden.

Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum

Hamilton- Operator für Bahn: ${{\hat {H}}_{B}}={\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)$ Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>

Hamilton- Operator für Spin: ${\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\omega }_{l}}={\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}$

${{\hat {H}}_{S}}$ wirkt dabei nur im Hilbertraum ${{H}_{S}}$

Ohne Berücksichtigung von ${{\hat {H}}_{S}}$

${\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}$

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in ${{H}_{B}}$

Es gilt (äquivalente Darstellung): ${\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{B}}\times 1\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}$

Dabei $1$ = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: $1=\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)$

MIT Berücksichtigung von ${{\hat {H}}_{S}}$

$\left({{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{\hat {H}}_{S}}\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

In Matrix- Darstellung: ${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}&0\\0&{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)\\&\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}$

Pauli Gleichung

Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld ${\bar {B}}=B{{\bar {e}}_{3}}$

${\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}$

Dabei wird durch ${{\hat {H}}_{B}}\times 1$ der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.

${\begin{aligned}&{\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{\hat {H}}\cong \left[{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left({{\hat {L}}_{3}}\times 1+\hbar {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)\\&{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)={{H}_{0}}\\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm\right\rangle \\\end{aligned}}$

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm ${\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left({{\hat {L}}_{3}}\times 1+\hbar {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)$ eine Korrektur an die Energie. Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin $\left({{H}_{0}}\times 1\right)\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle$

Insgesamt $2\left(2l+1\right)$ fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung $B\neq 0$

${\begin{aligned}&{\hat {H}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}\\&{{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle =\hbar m\left|nlm\right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle =2{{m}_{S}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}\left(m+2{{m}_{s}}\right)\right]\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Das bedeutet: teilweise Aufhebung der $2(2l+1)$- fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt !)

$E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left(m+2{{m}_{s}}\right)$

Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment ${{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left(m+2{{m}_{s}}\right)$.

Dabei entspricht $2$ vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von ${{\mu }_{B}}$ angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!

Tabelle: Landé- Faktoren

Teilchen	s	g	Q
Elektron	1/2	2	-e
Proton	1/2	5,59	e
Neutron	1/2	-3,83	0
Neutrino	1/2	0	0
Photon	1	0	0