Elektrisches Feld und Potenziale

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Elektrisches Feld und Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Elektrisches Feld und Potenziale	Elektrostatik	Elektrodynamik Schöll
	Coulomb- Wechselwirkung Elektrisches Feld und Potenziale Poisson- Gleichung und Greensche Funktion Elektrische Multipolentwicklung Die elektrostatische Feldenergie	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen

${{q}_{i}}$ bei ${{\bar {r}}_{i}}$

,i=1,2,... auf die Ladung

${{q}_{}}$ bei ${{\bar {r}}_{}}$

${{\bar {F}}_{e}}^{(2)}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}{}{\frac {q{{q}_{i}}}{{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}^{2}}}{\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}$

Darüber wird das elektrische Feld definiert:

$q\cdot {\bar {E}}\equiv {{\bar {F}}_{e}}^{(2)}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}{}{\frac {q{{q}_{i}}}{{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}^{2}}}{\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}$

Also:

${\bar {E}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}{}{\frac {{q}_{i}}{{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}^{2}}}{\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}}{\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|}}$

Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?

• Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
• Das Feld
• ${\bar {E}}({\bar {r}})$
• ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei
• ${\bar {r}}$
• .
• Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ( Retardierungseffekte)
• Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.

Einheit:

${\begin{aligned}&\left[E\right]={\frac {N}{C}}={\frac {kgm}{C{{s}^{2}}}}={\frac {V}{m}}\\&1V:=1{\frac {kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)

Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung: Dabei sollte q-> 0, damit keine Rückwirkung auf

${{q}_{i}}$

erfolgt.

Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:

$\left[{\bar {E}}({\bar {r}})\right]={\begin{matrix}\lim \\q\to 0\\\end{matrix}}{\frac {1}{q}}{\bar {F}}({\bar {r}})$

Das Elektrostatische Potenzial Mit

${\begin{aligned}&\nabla {\frac {1}{r{\acute {\ }}}}=-{\frac {1}{r{{\acute {\ }}^{3}}}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&r{\acute {\ }}:=\left|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right|\\\end{aligned}}$

Läßt sich schreiben:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}^{}{}{\frac {{q}_{i}}{|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}{{|}^{3}}}}\left({\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}\right)=-\nabla \Phi ({\bar {r}})\\&\Phi ({\bar {r}}):={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}^{}{}{\frac {{q}_{i}}{|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}|}}\\\end{aligned}}$

Mit dem elektrostatischen Potenzial

$\Phi ({\bar {r}}):={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{i}^{}{}{\frac {{q}_{i}}{|{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{i}}|}}$

, Einheit : 1 V

Kontinuierliche Ladungsverteilung

${\begin{aligned}&{{q}_{i}}\to {{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\\&\sum \limits _{i}^{}{}{{q}_{i}}\to \int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho }({\bar {r}}{\acute {\ }})\\\end{aligned}}$

Mit der Ladungsdichte

$\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})$

. Diese muss beschränkt sein und

$O\left({{r}^{-3-\varepsilon }}\right),\varepsilon >0$

für

$r\to \infty$

.

Es wird

Bei Verteilung von Punktladungen:

$\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})=\sum \limits _{i}^{}{}{{q}_{i}}\delta ({\bar {r}}{\acute {\ }}-{{\bar {r}}_{i}})=\sum \limits _{i}^{}{}{{q}_{i}}\prod \limits _{j=1}^{3}{}\delta ({{x}_{j}}{\acute {\ }}-{{x}_{j}}_{i})$

Quellen des elektrischen Feldes:

Bei Punktladung q bei

${\bar {r}}{\acute {\ }}=0\Rightarrow {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {q}{{r}^{2}}}\cdot {\frac {\bar {r}}{r}}$

Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:

${{\Phi }_{e}}=\oint _{S}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \oint _{S}{}{\frac {d{\bar {f}}\cdot {\bar {r}}}{{r}^{3}}}=\oint _{S}{df}{{E}_{n}}({\bar {r}})$

als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes

${{\Phi }_{e}}=\oint _{S}{df}\left|{\bar {E}}({\bar {r}})\right|\cos \Theta$

$d{\bar {f}}$

entspricht einem Raumwinkel

$d\Omega :d{\bar {f}}\cdot {\bar {r}}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega$

${{\Phi }_{e}}=\oint _{S}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \oint _{S}{}d\Omega ={\frac {q}{{\varepsilon }_{0}}}$

$\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint _{S}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=q$

Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:

$\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint _{\partial V}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}$

Der Fluß des elektrischen Feldes einer von

$S=\partial V$

eingeschlossenen Gesamtladung

Integralform des Coulomb- Gesetzes

Der Gaußsche Integralsatz

$\oint _{\partial V}{d{\bar {f}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}rdiv{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)}=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)}$

wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !

${\begin{aligned}&\Rightarrow \int _{V}^{}{{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}}\right)}={{\varepsilon }_{0}}\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)\\&\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\rho \left({\bar {r}}\right)\\\end{aligned}}$

Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\rho \left({\bar {r}}\right)$

sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind. Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre

${\bar {E}}\left({\bar {r}}\right),\rho \left({\bar {r}}\right)$

Äquivalente Aussagen der Elektrostatik

2. ${\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)$
3. besitzt ein skalares Potenzial
4. ${\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=-\nabla \Phi ({\bar {r}})$
7. $\int _{1}^{2}{d{\bar {s}}}{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)$
8. , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
10. $\nabla \times {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=0$
11. : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei

Es gilt:

$1)\Leftrightarrow 2)\Leftrightarrow 3)$

Beweis:

$1)\Leftrightarrow 3)$

Stokescher Satz:

$0=\oint _{\partial F}{d{\bar {s}}\cdot }{\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)=\int _{F}^{}{\nabla \times {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)d{\bar {f}}}$

für beliebige Flächen F mit einer Umrandung

$\partial F$

.