Elektrische Multipolentwicklung

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Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen in der Nähe des Ursprungs , so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von

für machen: Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für :

Also

explizit für unsere Situation:

Wobei den Winkel zwischen und bezeichnet. Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für und konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen (Legendre-Polynome):

Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit in jeweils l-ter Ordnung die Funktion

zu ergeben, die wiederum das r- Fache von

ist.

Also:

Insbesondere folgt damit:

und speziell:

Also:

Mit

als 2l- Pol Die Multipolentwicklung (Entwicklung nach 2l- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r!!

Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen (r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell! Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für

  • Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
  • Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
  • Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...

sogenannter Monopol (die Gesamtladung). Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung

l=1:

Mit dem Dipolmoment

Das Dipolpotenzial fällt also ab. Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper ().

{{Beispiel:Beispiel: 2 Punktladungen q, -q bei:

Feld des Dipolpotenzials:

Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:

}}

l=2:

Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:

ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:

Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:

Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit!

Für das Potenzial ergibt sich:


Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole: