Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
Der Artikel Quantentheoretischer Zugang basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr .
Einteilchenzustände im Kasten
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Kastne mit Länge L und Energiedifferenz
Δ
ϵ
{\displaystyle \Delta \epsilon }
:
V
=
L
3
{\displaystyle V=L^{3}}
(Volumen)
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
H
=
p
2
2
m
+
V
K
a
s
t
e
n
(
r
→
)
{\displaystyle H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)}
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
φ
n
(
r
→
)
=
2
L
sin
(
n
x
π
L
x
)
2
L
sin
(
n
y
π
L
y
)
2
L
sin
(
n
z
π
L
z
)
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)}
mit
n
→
=
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
;
n
i
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle {\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...}
und Energieeigenwerten
ε
n
=
ℏ
π
2
2
m
L
2
(
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)}
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
φ
n
(
r
→
)
=
⟨
r
→
|
n
⟩
→
|
n
⟩
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle }
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
φ
n
(
x
=
0
,
y
,
z
)
=
φ
n
(
x
=
L
,
y
,
z
)
∀
x
i
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}}
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz :
freie Teilchen im Kasten:
e
i
k
→
.
r
→
{\displaystyle {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}}
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
e
i
k
→
.
(
r
→
+
L
→
)
,
L
→
=
(
L
,
L
,
L
)
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
1
w
a
¨
hlen
⇒
k
i
=
(
k
x
,
k
y
,
k
z
)
:
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
φ
k
→
=
1
V
e
i
k
→
.
r
→
,
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
k
→
.
r
→
=
∑
i
k
i
x
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}}
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
∑
Zust
a
¨
nde
.
.
.
≜
∑
k
′
s
.
.
.
{\displaystyle \sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}}
∑
k
→
∈
3-Dim Raum
=
∑
k
Δ
3
k
Δ
3
k
⏟
Δ
k
x
Δ
Δ
k
y
Δ
k
z
=
(
L
2
π
)
3
∑
k
Δ
3
k
→
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Δ
k
{\displaystyle \Delta k}
sind dicht ~
1
L
→
∫
{\displaystyle {\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}}
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
∑
k
≜
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Vielteilchenzustände
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
H
=
∑
i
H
i
;
H
i
=
p
i
2
2
m
+
V
K
a
s
t
e
n
(
r
→
i
)
{\displaystyle H=\sum \limits _{i}{{H}_{i}}\,;\,{{H}_{i}}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({{\vec {r}}_{i}}\right)}
i: Teilchennummer
H
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
⏟
alle Koordinaten
)
=
ε
n
,
N
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
{\displaystyle H{{\Psi }_{n,N}}\left(\underbrace {\left\{{{r}_{i}}\right\}} _{\text{alle Koordinaten}}\right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)}
mit Quantenzahln n
→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
ε
n
,
N
=
∑
i
=
1
N
ε
n
(
i
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n,N}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}}
wobei
ε
n
(
i
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}
die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
=
φ
n
(
1
)
(
r
→
1
)
φ
n
(
2
)
(
r
→
2
)
…
φ
n
(
N
)
(
r
→
N
)
{\displaystyle {{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)={{\varphi }_{n\left(1\right)}}\left({{\vec {r}}_{1}}\right){{\varphi }_{n\left(2\right)}}\left({{\vec {r}}_{2}}\right)\ldots {{\varphi }_{n\left(N\right)}}\left({{\vec {r}}_{N}}\right)}
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
|
Ψ
(
X
1
…
X
i
…
X
j
…
X
N
)
|
2
=
|
Ψ
(
X
1
…
X
j
…
X
i
…
X
N
)
|
2
{\displaystyle {{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}}
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
X
i
=
(
r
→
i
,
s
→
i
)
{\displaystyle {{X}_{i}}=\left({{\vec {r}}_{i}},{{\vec {s}}_{i}}\right)}
Das geht für:
Ψ
(
X
1
…
X
j
…
X
i
…
X
N
)
{\displaystyle \Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)}
Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch (+) und antisymmetrisch (-) bezeichnet:
Fermionen (-)
antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
Bosonen (-)
symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider
T
→
∞
{\displaystyle T\to \infty }
)
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation :
In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)
→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
allgemin Ansätzte für N-Teilchen
Ψ
B
=
1
N
⏟
Teilchenzahl
wg Normierung
!
1
∏
k
K
N
k
!
⏟
wenn nur die Orbitale
φ
k
k
<
N
besetzt weil mehrer
Teilchen in einem Orbital sitzen
so steht
N
k
f
u
¨
r die Zahl der
Teilchen in dem Orbital
∑
P
P
(
φ
n
1
(
x
1
)
…
φ
n
k
(
x
k
)
…
φ
n
N
(
x
N
)
)
⏟
Zumme
u
¨
ber alle Permutationen
{\displaystyle {{\Psi }_{B}}={\frac {1}{\sqrt {\underbrace {N} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teilchenzahl}}\\{\text{wg Normierung}}\end{smallmatrix}}!}}}{\frac {1}{\underbrace {\sqrt {\prod \limits _{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}} _{\begin{smallmatrix}&{\text{wenn nur die Orbitale }}{{\varphi }_{k}}\\&k<N{\text{ besetzt weil mehrer}}\\&{\text{Teilchen in einem Orbital sitzen}}\\&{\text{so steht }}{{\text{N}}_{k}}{\text{ f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r die Zahl der}}\\&{\text{Teilchen in dem Orbital}}\\\end{smallmatrix}}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Zumme }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ ber alle Permutationen}}}}
Ψ
F
=
1
N
!
∑
P
sign
(
P
)
P
(
φ
n
1
(
x
1
)
…
φ
n
k
(
x
k
)
…
φ
n
N
(
x
N
)
)
⏟
Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal
(
−
1
)
{\displaystyle {{\Psi }_{F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{\operatorname {sign} \left(P\right)P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }}\left(-1\right)}}
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Datei:Fermi-Bose
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
=
⟨
r
→
i
|
N
,
n
⟩
→
|
N
,
n
⟩
{\displaystyle {{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)=\left\langle {{\vec {r}}_{i}}|N,n\right\rangle \to \left|N,n\right\rangle }
|
N
,
n
⟩
=
?
{\displaystyle \left|N,n\right\rangle =?}
ist gekennzeichnet durch
die Gesamtteilchenzahl N
wo man die Teilchen sitzen hat n
|
N
,
n
⟩
=
|
n
1
n
2
⋯
n
k
⋯
n
N
N
1
N
2
⋯
N
k
⋯
N
N
⟩
=
|
N
1
N
2
⋯
N
k
⋯
N
N
⟩
{\displaystyle \left|N,n\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{n}_{1}}&{{n}_{2}}&\cdots &{{n}_{k}}&\cdots &{{n}_{N}}\\{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle }
n
k
{\displaystyle {{n}_{k}}}
als Quantenzahl mit
N
k
{\displaystyle {{N}_{k}}}
Teilchen
Fermionen
N
k
=
0
,
1
{\displaystyle {{N}_{k}}=0,1}
Bosonen
N
k
=
0
,
1
,
.
.
.
,
N
{\displaystyle {{N}_{k}}=0,1,...,N}
2 Bosonen
|
1
,
1
⟩
o
d
e
r
|
0
,
2
⟩
o
d
e
r
|
2
,
0
⟩
{\displaystyle \left|1,1\right\rangle oder\left|0,2\right\rangle oder\left|2,0\right\rangle }
2 Fermionen
|
1
,
1
⟩
{\displaystyle \left|1,1\right\rangle }
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.
Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:
massive Bosonen
Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
masselose Bosonen
z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)
man kann sich H anschauen:
∂
H
∂
N
≠
0
{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial N}}\neq 0}
→massive Bosonen
∂
H
∂
N
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial N}}=0}
→masselose Bosonen
∂
H
∂
N
:=
μ
{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial N}}:=\mu }
chemisches Potential
muss am Beispiel später klargemacht werden.
massive Bosonen
μ
≠
0
{\displaystyle \mu \neq 0}
masselose Bosonen
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
Wechselwirkung von System und Umgebung
System und Umgebung auf das System wirken externe Felder (
h
α
{\displaystyle h_{\alpha }}
) und die Umgebung oder Bad enstpricht einem großen Puffer
H
=
H
g
e
s
=
H
S
⏟
System
+
H
B
⏟
Bad
+
H
S
B
⏟
Wechsel-
wirkung
+
H
S
α
(
t
)
⏟
externe Felder die
auf das System wirken
{\displaystyle H={{H}_{ges}}=\underbrace {{H}_{S}} _{\text{System}}+\underbrace {{H}_{B}} _{\text{Bad}}+\underbrace {{H}_{SB}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Wechsel-}}\\{\text{wirkung}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {H_{S}^{\alpha }\left(t\right)} _{\begin{smallmatrix}{\text{externe Felder die }}\\{\text{auf das System wirken}}\end{smallmatrix}}}
"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung
im Allgemeinen:
i
ℏ
∂
t
χ
=
H
χ
{\displaystyle {\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi }
(immer richtig)
Annahme
System
H
S
|
n
⟩
=
ε
n
|
n
⟩
{\displaystyle {{H}_{S}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle }
Bad
H
B
|
b
⟩
=
ε
b
|
b
⟩
{\displaystyle {{H}_{B}}\left|b\right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left|b\right\rangle }
Problem gelöst.
System bespielsweise H-Atom
Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren
ABBILDUNG
"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"
χ
{\displaystyle \chi }
hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab
χ
=
∑
n
,
b
c
n
,
b
(
t
)
|
n
⟩
|
b
⟩
{\displaystyle \chi =\sum \limits _{n,b}{{{c}_{n,b}}\left(t\right)}\left|n\right\rangle \left|b\right\rangle }
Spannt den ganzen Raum auf
|
n
⟩
{\displaystyle \left|n\right\rangle }
,
|
b
⟩
{\displaystyle \left|b\right\rangle }
abstrakte Vielteilchenzustände
wollen Systemgröße beobachten
Observable des Systems O_s wirkt nicht auf
|
b
⟩
{\displaystyle \left|b\right\rangle }
, nur auf
|
n
⟩
{\displaystyle \left|n\right\rangle }
's:
⟨
χ
|
O
s
|
χ
⟩
=
∑
n
,
n
′
b
,
b
′
c
∗
n
′
,
b
′
c
n
,
b
⟨
n
′
|
⟨
b
′
|
O
S
|
b
⟩
⏟
δ
b
,
b
′
|
n
⟩
=
∑
n
,
n
′
∑
b
c
∗
n
′
,
b
c
n
,
b
⏟
ρ
n
,
n
′
−
Matrix
hier findet sich Umgebung
wieder
⟨
n
′
|
O
S
|
n
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle \chi |{{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}n,n'\\b,b'\end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle n'\right|\left\langle b'\right|{{O}_{S}}\underbrace {\left|b\right\rangle } _{{\delta }_{b,b'}}\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{n,n'}{\underbrace {\sum \limits _{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}} _{\begin{smallmatrix}{{\rho }_{n,n'}}-{\text{Matrix}}\\{\text{hier findet sich Umgebung }}\\{\text{wieder}}\end{smallmatrix}}}\left\langle n'\right|{{O}_{S}}\left|n\right\rangle \end{aligned}}}
ρ
n
,
n
′
{\displaystyle {{\rho }_{n,n'}}}
wird Dichtematrix genannt oder Matrix des statistischen Operators
ρ
{\displaystyle \rho }
mit den Matrixelementen
ρ
n
,
n
′
{\displaystyle {{\rho }_{n,n'}}}
→ führe statistischen Operator ein
Erwartungwert in System mit Umgebung:
⟨
χ
|
O
S
|
χ
⟩
=
∑
n
,
n
′
⟨
n
|
ρ
|
n
′
⟩
⟨
n
′
|
O
S
|
n
⟩
{\displaystyle \left\langle \chi \right|{{O}_{S}}\left|\chi \right\rangle =\sum \limits _{n,n'}{\left\langle n\right|\rho \left|n'\right\rangle }\left\langle n'\right|{{O}_{S}}\left|n\right\rangle }
mit
1
=
∑
n
′
|
n
′
⟩
⟨
n
′
|
{\displaystyle 1=\sum \limits _{n'}{\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|}}
⟨
O
S
⟩
=
∑
n
⟨
n
|
ρ
O
S
|
n
⟩
≡
Tr
(
ρ
O
S
)
{\displaystyle \left\langle {{O}_{S}}\right\rangle =\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\rho {{O}_{S}}\left|n\right\rangle }\equiv {\text{Tr}}\left(\rho {{O}_{S}}\right)}
ist die Mittelungsformel der statistischen Physik .
statistischer Operator
Frage: Was kann man über
ρ
{\displaystyle \rho }
herausfinden?
kann 2 Eigenschaften
ρ
n
,
n
′
=
∑
b
c
∗
n
′
,
b
c
n
,
b
{\displaystyle {{\rho }_{n,n'}}=\sum \limits _{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}}
hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
Tr
(
ρ
O
S
)
=
1
{\displaystyle {\text{Tr}}\left(\rho {{O}_{S}}\right)=1}
denn
∑
b
n
|
c
n
,
b
|
2
=
1
{\displaystyle {{\sum \limits _{bn}{\left|{{c}_{n,b}}\right|}}^{2}}=1}
ebenso Diagonalelemente
0
≤
|
c
n
,
b
|
2
≤
1
{\displaystyle 0\leq {{\left|{{c}_{n,b}}\right|}^{2}}\leq 1}
(wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)
wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften
Tr
(
ρ
)
=
∑
i
w
i
=
1
w
i
∈
[
0
,
1
]
,
i
ℏ
∂
t
|
Ψ
i
⟩
=
(
H
S
+
H
S
α
)
|
Ψ
i
⟩
{\displaystyle {\text{Tr}}\left(\rho \right)=\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad {\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\left({{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha }\right)\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }
es existiert die Diagonaldarstellung
ρ
=
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
⏟
Systemwellenfunktionen
{\displaystyle \rho ={{w}_{i}}\underbrace {\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|} _{\text{Systemwellenfunktionen}}}
Bemerkungen
Interpreatation
Interpreation von \rho
in Diagonaldarstellung
⟨
O
S
⟩
=
Tr
(
ρ
O
s
)
=
∑
n
⟨
n
|
ρ
O
s
|
n
⟩
⏟
n
vollst
. System im
Vielteilchenraum des
Systems
=
∑
n
⟨
n
|
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
⏟
ρ
O
s
|
n
⟩
=
∑
i
w
i
⟨
Ψ
i
|
∑
n
|
n
⟩
⟨
n
|
⏟
1
O
s
|
Ψ
i
⟩
=
∑
i
w
i
⟨
Ψ
i
|
O
s
|
Ψ
i
⟩
⏟
Erwartungswert einer
Gr
o
¨
sse
, bei der sich das System
im Zustand
|
Ψ
i
⟩
befindet
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{O}_{S}}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\underbrace {\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\rho {{O}_{s}}\left|n\right\rangle }} _{\begin{smallmatrix}n{\text{ vollst}}{\text{. System im}}\\{\text{Vielteilchenraum des }}\\{\text{Systems}}\end{smallmatrix}}\\&=\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\underbrace {\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}} _{\rho }{{O}_{s}}\left|n\right\rangle }=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|\underbrace {\sum \limits _{n}{\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}} _{1}}{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\underbrace {\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle } _{\begin{smallmatrix}{\text{Erwartungswert einer}}\\{\text{Gr }}\!\!{\ddot {\mathrm {o} }}\!\!{\text{ sse}}{\text{, bei der sich das System }}\\{\text{im Zustand }}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle {\text{ befindet}}\end{smallmatrix}}}\end{aligned}}}
w
i
{\displaystyle {{w}_{i}}}
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
|
Ψ
i
⟩
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }
realisiert wird interpretiert.
⟨
O
S
⟩
{\displaystyle \left\langle {{O}_{S}}\right\rangle }
klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
∑
i
{\displaystyle \sum \limits _{i}{}}
Mittelung über das besprochene Ensenble
Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit wi zum Meßergebnis bei.
Zeitabhängigkeit
wi = Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
|
Ψ
i
⟩
(
t
)
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle (t)}
vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S
Reine und gemischte Zustände
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen
w
i
≠
0
{\displaystyle w_{i}\neq 0}
z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich
ρ
gemisch
=
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
{\displaystyle {{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}}
Eingenwertgleichung
Lösung der Eigenwergleichung für \rho :
ρ
|
r
⟩
=
r
|
r
⟩
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
|
r
⟩
=
r
|
r
⟩
|
⋅
⟨
r
|
∑
i
w
i
⟨
r
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
|
r
⟩
=
r
{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \quad |\centerdot \left\langle r\right|\\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\end{aligned}}}
daraus folgt
w
i
≤
1
{\displaystyle {{w}_{i}}\leq 1}
,
|
⟨
r
|
Ψ
i
⟩
|
2
≤
1
{\displaystyle {{\left|\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \right|}^{2}}\leq 1}
somit
⇒
0
≤
r
≤
1
{\displaystyle \Rightarrow 0\leq r\leq 1}
∑
r
∑
i
w
i
⟨
r
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
|
r
⟩
=
∑
r
r
∑
i
w
i
=
∑
{
r
}
r
⇒
∑
{
r
}
r
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{r}{\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle }=\sum \limits _{r}{r}\\&\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=\sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}\\&\Rightarrow \sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}=1\end{aligned}}}
Eigenwerte von
ρ
{\displaystyle \rho }
sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
Beispiel für gemischten Zustand
H
s
|
n
⟩
=
ε
n
|
n
⟩
{\displaystyle {{H}_{s}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle }
: einfach machen
Photon: mit Polarisation
↑
,
→
{\displaystyle \uparrow ,\to }
= 2 Zustände
|
n
=
1
,
2
⟩
{\displaystyle \left|n=1,2\right\rangle }
|
Ψ
i
(
t
)
⟩
=
a
(
t
)
|
→
⟩
+
b
(
t
)
|
↑
⟩
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\left(t\right)\right\rangle =a\left(t\right)\left|\to \right\rangle +b\left(t\right)\left|\uparrow \right\rangle }
|
Ψ
i
(
t
)
⟩
{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\left(t\right)\right\rangle }
wird druch
Zustände
↑
,
↓
,
a
,
b
:
a
2
+
b
2
=
1
{\displaystyle \uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1}
sind alle Möglich.
reiner Zustand
reiner zustand
ρ
rein
=
|
Ψ
i
0
⟩
⟨
Ψ
i
0
|
{\displaystyle {{\rho }_{\text{rein}}}=\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}}\right|}
für festes a,b
ρ
rein
=
a
|
→
⟩
+
b
|
↑
⟩
+
(
a
|
→
⟩
+
b
|
↑
⟩
)
∗
=
|
a
|
2
|
→
⟩
⟨
→
|
+
a
b
∗
|
→
⟩
⟨
↑
|
+
b
a
∗
|
↑
⟩
⟨
→
|
+
|
b
|
2
|
↑
⟩
⟨
↑
|
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\rho }_{\text{rein}}}=a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle +{{\left(a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle \right)}^{*}}\\&={{\left|a\right|}^{2}}\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+a{{b}^{*}}\left|\to \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+b{{a}^{*}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \to \right|+{{\left|b\right|}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\end{aligned}}}
mit a,b beliebig
|
a
|
2
+
|
b
|
2
=
1
{\displaystyle {{\left|a\right|}^{2}}+{{\left|b\right|}^{2}}=1}
z.B
a
=
b
=
1
2
oder
a
=
1
,
b
=
0
{\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\,{\text{oder}}\ a=1,b=0}
... alles reine Zustände
gemischter Zustand
ρ
=
∑
i
w
i
|
Ψ
i
⟩
⟨
Ψ
i
|
,
|
Ψ
1
⟩
=
|
→
⟩
,
|
Ψ
2
⟩
=
|
↑
⟩
,
w
1
=
w
2
=
1
2
{\displaystyle \rho =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|},\ \quad \left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =\left|\to \right\rangle ,\quad \left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}={\frac {1}{2}}}
dann ist
ρ
=
1
2
(
|
→
⟩
⟨
→
|
+
|
↑
⟩
⟨
↑
|
)
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\right)}
wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten
ρ
{\displaystyle \rho }
unterscheiden?
Läuft über Spur (Übungsaufgabe)
((LÖSUNG
ρ
2
<
1
{\displaystyle \rho ^{2}<1}
:gemischt sonst rein))
immer noch nicht bekannt
w
i
{\displaystyle w_{i}}
's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen
Aufgaben der statistischen Physik
3wichtige
dynamische Gelichungen für
ρ
n
,
n
′
(
t
)
{\displaystyle \rho _{n,n'}(t)}
um den statistischen Operator
ρ
(
t
)
{\displaystyle \rho (t)}
zu bestimmen
⟨
O
s
⟩
=
Tr
(
ρ
(
t
)
O
s
)
{\displaystyle \left\langle {{O}_{s}}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho \left(t\right){{O}_{s}}\right)}
bei externen Feldern
Anfangsbedinugungen
ρ
n
,
n
′
(
t
=
0
)
{\displaystyle \rho _{n,n'}(t=0)}
festlegen vor Einschalten externer Felder
Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in
ρ
n
,
n
′
(
t
=
0
)
{\displaystyle \rho _{n,n'}(t=0)}
einzubauen (z.B. Temperatur)