Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Eichinvarianz und Ladungserhaltung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Wirkungsintegral:
![{\displaystyle W=-{{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds-{\frac {q}{c}}\int _{1}^{2}{}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0541c1dd74f138201014e2bdece49d136c4883bf)
Dabei:
![{\displaystyle {{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds={{W}_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87753d063d6205910c211d9cbfcbbfe58ff8ede)
( Teilchen)
![{\displaystyle -{\frac {q}{c}}\int _{1}^{2}{}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7ac2465888ee886b31e109c83be4ce58893b99)
( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
![{\displaystyle m\left({{x}^{\mu }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0947d9faefe8c35655862fb85c448987c6e27ba4)
Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{W}_{t}}=-c\int _{}^{}{}{{d}^{3}}rm\int _{1}^{2}{}ds=-\int _{\Omega }^{}{}d\Omega m{\frac {ds}{dt}}\\&d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803713caa4375dee23d3df3ac7ef077b10bf3383)
dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!
Bemerkungen:
![{\displaystyle d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a77777df83cbdbf96f0eaa6e74ba90eba9ce43b)
- ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen
![{\displaystyle {{U}^{\mu }}_{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f50fdcea6d0cd879effa7336321c2dbbcad77f9)
erhalten bleibt.
2) Aus
![{\displaystyle d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d269c4d3d58915ef1f54dd10fb92ae54ff5cf6)
folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
![{\displaystyle d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d269c4d3d58915ef1f54dd10fb92ae54ff5cf6)
![{\displaystyle {{m}_{0}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}\equiv {{g}^{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33909364683c9f1e6f15aa90d94f0c7aea348b88)
ein Vier- Vektor ist, da
![{\displaystyle d{{m}_{0}},d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5786218c076add334b734b77dbeb64864d4d431b)
Lorentz- Skalare sind und natürlich
![{\displaystyle d{{x}^{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620214f45486a11a9da2786e711abf0f5b13fc0c)
selbst auch ein Vierervektor
![{\displaystyle {{\mu }^{2}}{\frac {d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{\left(dt\right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left(\mu {\frac {ds}{dt}}\right)}^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47eb456b43a19e058373d319f9c9204c373f6508)
- ist Lorentz - Invariant.
Also
![{\displaystyle {{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9fac0bd819e3eb90110b59d5e850fb97bb10ca)
ist Lorentz- Invariant. Also auch
![{\displaystyle \left(\mu {\frac {ds}{dt}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a605a5fa222ea30c8668cd792cd11ce5b84f2b03)
.
Somit ist
![{\displaystyle {{W}_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa619a01d89472ef0db227567654a502edd6c0e)
insgesamt Lorentz- Invariant !