Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Variationsverfahren basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:
Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:
Dann gilt für einen beliebigen Zustand
, im Allgemeinen kein Eigenzustand:
Wodurch uns die Ungleichung geben ist:
Also:
als Extremal- Prinzip
Näherung für den Grundzustand:
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion
mit verschiedenen Parametern, also
.
Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
Variiere dann die Parameter, bis
minimal wird:
Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie
.
Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand
Bemerkung
Die Näherung von
ist besser als die Näherung
in folgendem Sinn:
Wobei die genäherte Funktion
die exakte, also
um den Term
verfehle:
Mit
Für kleine
gilt, da E bei
ein Minimum hat:
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.
Näherung für angeregte Zustände:
und
sind also näherungsweise bekannt.
Nun wähle man eine Testfunktion
mit
. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !
Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis
minimal wird.
Dann hat man eine Näherung
und
Beweis:
Weitere Näherungsmethoden
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)
sogenannte "quasiklassische Näherung":
Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.
Fließbach, S. 155 ff.