Eichinvarianz und Ladungserhaltung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eichinvarianz und Ladungserhaltung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Relativistisches Hamiltonprinzip Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Wirkungsintegral:

$W=-{{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds-{\frac {q}{c}}\int _{1}^{2}{}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}$

Dabei:

${{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds={{W}_{t}}$ ( Teilchen)

$-{\frac {q}{c}}\int _{1}^{2}{}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}$ ( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)

Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte $m\left({{x}^{\mu }}\right)$

Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!

${\begin{aligned}&{{W}_{t}}=-c\int _{}^{}{}{{d}^{3}}rm\int _{1}^{2}{}ds=-\int _{\Omega }^{}{}d\Omega m{\frac {ds}{dt}}\\&d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}}\\\end{aligned}}$

dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!

Bemerkungen:

2. $d\Omega$
3. ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen

${{U}^{\mu }}_{\nu }$ erhalten bleibt.

2) Aus $d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}d\Omega$

folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m= $d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}d\Omega$

${{m}_{0}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}\equiv {{g}^{\mu }}$

ein Vier- Vektor ist, da $d{{m}_{0}},d\Omega$ Lorentz- Skalare sind und natürlich $d{{x}^{\mu }}$ selbst auch ein Vierervektor

2. ${{\mu }^{2}}{\frac {d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{\left(dt\right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left(\mu {\frac {ds}{dt}}\right)}^{2}}$
3. ist Lorentz - Invariant.

Also ${{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}$ ist Lorentz- Invariant. Also auch $\left(\mu {\frac {ds}{dt}}\right)$ .

Somit ist ${{W}_{t}}$ insgesamt Lorentz- Invariant !