Entropie von Gleichgewichtszuständen: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math> {{FB| | ;{{FB|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}:<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math> | ||
;{{FB|Entropie}}:--> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math> | |||
-> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math> {{ | ;Verallgemeinerte relation zwischen den '''extensiven''' Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> und dem thermodynamisch konjugierten '''intensiven''' Parametern <math>{{\lambda }_{n}}</math>:<math>\begin{align} | ||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\ | & \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\ | ||
& \Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)=-\ln tr\left( {{e}^{-{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}}} \right) \\ | & \Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)=-\ln tr\left( {{e}^{-{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}}} \right) \\ | ||
\end{align}</math> | |||
\end{align}</math> | ;{{FB|Gibbsche Fundamentalrelation}}:<math>dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | ||
;phänomenologische Definition der '''intensiven''' Variablen:<math>\frac{\partial S}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}}</math> | |||
<math>dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> | |||
<math>\frac{\partial S}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}}</math> | |||
==Siehe auch== | ==Siehe auch== |
Version vom 11. September 2010, 19:59 Uhr
Der Artikel Entropie von Gleichgewichtszuständen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Entropie von Gleichgewichtszuständen | Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik | Thermodynamik und Statistik |
---|---|---|
Einheitliche Notation für klassische Mechanik und QM:
Definition:
Extensive thermodynamische Variablen sind additiv bei Systemzusammensetzung: Gesamtsystem: Extensive Variablen: |
Beispiele:
|
Definition
Intensive thermodynamische Variablen nehmen bei thermodynamischem Gleichgewicht zwischen 2 Subsystemen den gleichen Wert an: Intensive Variablen: |
( folgt aus verallgemeinerter kanonischer Verteilung).
Beispiele:
|
Allgemein:
heißt thermodynamisch konjugierte intensive Kontaktvariable (Lagrange- Multiplikatoren)
Nebenbemerkung:
Die aus den intensiven Variablen gebildeten Dichten sind intensiv !
Aber sind dennoch keine thermodynamisch konjugierten Kontaktvariablen !
Satz:
Sind 2 Systeme im Gleichgewicht mit einem 3. System, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht ("Transitivität")
(folgt aus der Gleichheit der intensiven Parameter)
- Absolutes Gleichgewicht
- Alle Systeme sind miteinander im Gleichgewicht
- Relatives Gleichgewicht
- Subsysteme sind in sich im Gleichgewicht, jedoch nicht untereinander !(gehemmtes Gleichgewicht)
Thermodynamisches Prinzip: Zu jeder extensiven thermodynamischen Variable gibt es eine Wand oder "Hemmung", die bezüglich deren Austausch isolierend ist!
Beispiel:
|
Einführung einer weiteren extensiven thermodynamischen Größe:
Entropie S-> Existenz irreversibler Prozesse
Entropie Postulat (Clausius , 1860): Zu jedem isolierten thermodynamischen System gibt es eine eindeutige Zustandsfunktion , die mit wachsender Zeit nicht abnimmt !
Definition Zustandsfunktion
hängt nur vom gegenwärtigen thermodynamischen Zustand, nicht jedoch von der Vorgeschichte (also von der Prozessführung) ab! |
Verknüpfung der Statistik mit der phänomenologischen Thermodynamik
Zusammenhang zwischen Entropie und Informationsunkenntnis nach Shannon
(Fundamentalzusammenhang) |
- S
- Entropie
- k
- k= = Boltzmann- Kosntante
- I
- fehlende Kenntnis nach Shannon
I = Shannon- Information( kann nach der letzten Messung nicht zunehmen!) eindeutig abhängig von durch das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung:
--> statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik !
Eigenschaften der Entropiegrundfunktion :
- ist additiv für unkorrelierte Subsysteme -> ist extensiv
- Gibbsche Fundamentalgleichung]
Anwendung: Kanonische Verteilung
Definition der absoluten Temperatur T:
|
Somit ist die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U
- Bei Energieaustausch zwischen 2 Subsystemen ist T im Gleichgewicht gleich !
- Quasistatischer Prozess ( reversibel)
- Folge von Gleichgewichtszuständen.
Voraussetzung: Zeitskalentrennung zwischen Prozessgeschwindigkeit und Gleichgewichtseinstellung möglich! - Arbeitskoordinaten ( äußere Parameter)
- Extensive thermodynamische Variable, durch die ohne Änderung der materiellen Zusammensetzung von außen auf das System eingewirkt wird:
Beispiel: Volumen V: Gas in Volumen V kann durch Kolben komprimiert werden!
Quasistatisch geleistete Arbeit am System:
also bei Kompression ! p: Druck: instantaner, räumlich homogener Wert, falls Gleichgewichtszustände durchlaufen werden (quasistatisch). |
Druckensemble
das Volumen fluktuiert !
Definition Druck
|
dann gilt in Übereinstimmung mit der phänomenologischen Thermodynamik:
Dabei:
Satz:
Erster Hauptsatz der Thermodynamik ( Energieerhaltungssatz) |
- Vom System reversibel aufgenommene Wärmemenge
- Vom System quasistatisch geleistete Arbeit
Nebenbemerkung:
Q und W sind keine Zustandsfunktionen, daher keine exakten Funktionale und |
- Energiezustandsfunktion eines einfachen thermischen Systems U(S,V)
Zur Unterscheidung der Differenziale dU und
dU ist totales ( = exaktes) Differenzial einer Zustandsfunktion
Dagegen ist eine Pfaffsche Differenzialform}
Exakte Differenziale sind dabei spezielle Differenzialformen:
Es gilt: i) Satz:
df ist exakt <-> ( Integrabilitätsbedingung) |
Beweis:
Beweis:
" -> "
"<-"
Aus
Also:
ii) df ist exakt <->
Falls kein exaktes Differenzial, aber existiert, so dass exaktes Differenzial, dann heißt integrierender Faktor:
Zusammenfassung
- verallgemeinerte kanonische Verteilung
- Entropie
- -->
- Verallgemeinerte relation zwischen den extensiven Variablen und dem thermodynamisch konjugierten intensiven Parametern
- Gibbsche Fundamentalrelation
- phänomenologische Definition der intensiven Variablen
Siehe auch
Skript ab Seite 42