Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen: Unterschied zwischen den Versionen
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Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian: | Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian: | ||
<math>{{\hat{H}}^{0}}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math> | :<math>{{\hat{H}}^{0}}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math> | ||
Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit | Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit | ||
<math>\bar{A}(\bar{r},t)={{\bar{A}}_{0}}\cos (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math> | :<math>\bar{A}(\bar{r},t)={{\bar{A}}_{0}}\cos (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math> | ||
verhält. | verhält. | ||
<math>\omega =c\left| {\bar{k}} \right|</math> | :<math>\omega =c\left| {\bar{k}} \right|</math> | ||
und es gilt Coulomb- Eichung: | und es gilt Coulomb- Eichung: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r},t)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r},t)=0</math> | ||
So wird: | So wird: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{r},t)=-\omega {{{\bar{A}}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t) \\ | & \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{r},t)=-\omega {{{\bar{A}}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t) \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{r},t)=-\bar{k}\times {{\bar{A}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math> | :<math>\bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{r},t)=-\bar{k}\times {{\bar{A}}_{0}}\sin (\bar{k}\bar{r}-\omega t)</math> | ||
Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt): | Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt): | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{0}}-\frac{e}{m}\bar{A}\cdot \hat{\bar{p}}={{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}} \\ | & \hat{H}={{{\hat{H}}}_{0}}-\frac{e}{m}\bar{A}\cdot \hat{\bar{p}}={{{\hat{H}}}_{0}}+{{{\hat{H}}}^{1}} \\ | ||
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Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit): | Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit): | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \\ | & {{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle n \right|\hat{F}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\frac{2\pi }{\hbar }{{\left| \left\langle {{n}_{0}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| n \right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \\ | ||
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Damit wird das Matrixelement des Störoperators | Damit wird das Matrixelement des Störoperators | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& -\frac{e}{m}\left\langle n \right|{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \cong -\frac{i}{\hbar }\frac{em}{2m}{{{\bar{A}}}_{0}}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{0}}\hat{\bar{r}}-\hat{\bar{r}}{{{\hat{H}}}_{0}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\frac{i}{2\hbar }({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}){{{\bar{A}}}_{0}}e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | & -\frac{e}{m}\left\langle n \right|{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}{{{\bar{A}}}_{0}}\hat{\bar{p}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \cong -\frac{i}{\hbar }\frac{em}{2m}{{{\bar{A}}}_{0}}\left\langle n \right|{{{\hat{H}}}_{0}}\hat{\bar{r}}-\hat{\bar{r}}{{{\hat{H}}}_{0}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle =-\frac{i}{2\hbar }({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}){{{\bar{A}}}_{0}}e\left\langle n \right|\hat{\bar{r}}\left| {{n}_{0}} \right\rangle \\ | ||
& {{{\bar{A}}}_{0}}=-\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}}{\omega } \\ | & {{{\bar{A}}}_{0}}=-\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}}{\omega } \\ | ||
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Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß | Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß | ||
<math>{{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }\frac{{{({{E}_{n}}-{{E}_{n0}})}^{2}}}{4{{\left( \hbar \omega \right)}^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\}</math> | :<math>{{W}_{nn0}}=\frac{2\pi }{\hbar }\frac{{{({{E}_{n}}-{{E}_{n0}})}^{2}}}{4{{\left( \hbar \omega \right)}^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\}</math> | ||
<u>'''Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:'''</u> | <u>'''Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}(\bar{r},t)=\int_{0}^{\infty }{d\omega }{{{\bar{E}}}_{0}}(\omega )\sin \left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right) \\ | & \bar{E}(\bar{r},t)=\int_{0}^{\infty }{d\omega }{{{\bar{E}}}_{0}}(\omega )\sin \left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right) \\ | ||
& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\ | & \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\ | ||
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Dabei liefert | Dabei liefert | ||
<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math> | :<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )</math> | ||
einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}>{{E}_{n0}}</math> | einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}>{{E}_{n0}}</math> | ||
( Absorption) und | ( Absorption) und | ||
<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | :<math>\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )</math> | ||
einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}<{{E}_{n0}}</math> | einen Beitrag für <math>{{E}_{n}}<{{E}_{n0}}</math> | ||
als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist <math>\tilde{\ }{{\bar{E}}_{0}}{{\left( \omega \right)}^{2}}</math> | als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist <math>\tilde{\ }{{\bar{E}}_{0}}{{\left( \omega \right)}^{2}}</math> | ||
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Die Ausführung der Integration liefert: | Die Ausführung der Integration liefert: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\ | & {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{d\left( \hbar \omega \right)}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \omega \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}}\left\{ \delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega ) \right\} \\ | ||
& \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \frac{\left( \left| {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right| \right)}{\hbar } \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}} \\ | & \Rightarrow {{W}_{nn0}}=\frac{\pi }{2{{\hbar }^{2}}}{{\left( {{{\bar{E}}}_{0}}\left( \frac{\left( \left| {{E}_{n}}-{{E}_{n0}} \right| \right)}{\hbar } \right)\cdot {{{\bar{d}}}_{nn0}} \right)}^{2}} \\ | ||
Zeile 117: | Zeile 117: | ||
Die ungestörte Wellenfunktion: | Die ungestörte Wellenfunktion: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\ | & {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\ | ||
& \left| n \right\rangle =\left| n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\rangle \\ | & \left| n \right\rangle =\left| n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right\rangle \\ | ||
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Kugelkoordinaten | Kugelkoordinaten | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\ | & {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\ | ||
& {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\ | & {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\ | ||
Zeile 133: | Zeile 133: | ||
betrachte | betrachte | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \xi ={{x}_{1}}+i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{i\phi }} \\ | & \xi ={{x}_{1}}+i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{i\phi }} \\ | ||
& \xi *={{x}_{1}}-i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{-i\phi }} \\ | & \xi *={{x}_{1}}-i{{x}_{2}}=r\sin \vartheta {{e}^{-i\phi }} \\ | ||
Zeile 140: | Zeile 140: | ||
Einsetzen liefert: | Einsetzen liefert: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\ | & {{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}\left( \vartheta ,\phi \right)\tilde{\ }{{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta ){{e}^{im\phi }} \\ | ||
& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }\int_{0}^{\pi }{d}\vartheta {{\sin }^{2}}\left( \vartheta \right){{P}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\cos \vartheta ){{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta )\int_{0}^{2\pi }{d}\phi {{e}^{i\left( m-m\acute{\ }+1 \right)\phi }} \\ | & \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }\int_{0}^{\pi }{d}\vartheta {{\sin }^{2}}\left( \vartheta \right){{P}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\cos \vartheta ){{P}_{l}}^{m}(\cos \vartheta )\int_{0}^{2\pi }{d}\phi {{e}^{i\left( m-m\acute{\ }+1 \right)\phi }} \\ | ||
Zeile 150: | Zeile 150: | ||
Analog kann man ausrechnen: | Analog kann man ausrechnen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}*\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ },m-1}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\ | & \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|\hat{\bar{\xi }}*\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ },m-1}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\ | ||
& \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|{{{\hat{x}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ }m}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\ | & \left\langle n\acute{\ }l\acute{\ }m\acute{\ } \right|{{{\hat{x}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \tilde{\ }{{\delta }_{m\acute{\ }m}}{{\delta }_{l\acute{\ },l\pm 1}} \\ | ||
Zeile 157: | Zeile 157: | ||
Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge: | Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Delta l=\pm 1 \\ | & \Delta l=\pm 1 \\ | ||
& \Delta m=0,\pm 1 \\ | & \Delta m=0,\pm 1 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> |
Version vom 12. September 2010, 16:41 Uhr
Der Artikel Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen | Näherungsmethoden | |
---|---|---|
Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten Hamiltonian:
Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit
verhält.
und es gilt Coulomb- Eichung:
So wird:
Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):
Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der Übergangswahrscheinlichkeit):
Dipolnäherung:
Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige Angström)
->
Außerdem: und = Operator des elektrischen Dipolmoments
Damit wird das Matrixelement des Störoperators
Mit den elektrischen Dipol- Matrixelementen
Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß
Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:
Dabei liefert
einen Beitrag für ( Absorption) und
einen Beitrag für als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist also proportional zur Energiedichte der elektromagnetischen Welle.
Die Ausführung der Integration liefert:
Bemerkungen
Spontane Emission kann in der semiklasischen Theorie ( Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden ! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig (Quantenfeldtheorie). Die Auswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement gegeben. Für können erlaubte Multipolübergänge ( magnetischer Dipol, elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von in höherer Ordnung berechnet werden.
Diskussion der Dipolmatrixelemente:
Wir begeben uns wieder in den Ortsraum der Kugelkoordinatendarstellung:
Die ungestörte Wellenfunktion:
Kugelkoordinaten
betrachte
Einsetzen liefert:
Analog kann man ausrechnen:
Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge: